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étouffons en nous en lisant et en écoutant chaque jour tant d'erreurs, avoient une telle force dans cette naïve et simple antiquité, que les hommes, à l'aide de la même lumière intellectuelle qui leur faisoit voir qu'on doit préférer la vertu au plaisir et l'honnête à l'utile, bien qu'ils ignorassent la raison de cette préférence, s'étoient formé des idées vraies sur la philosophie et sur les mathématiques, quoiqu'ils ne pussent encore comprendre parfai

tement ces sciences. (xi, 221) b Voir le Disc. de la Méth. renv. 16, 47, 49, 65. C MALEBRANCHE : On doit donc regarder la géométrie comme une

espèce de science universelle, qui ouvre l'esprit, qui le rend attentif, et qui lui donne l'adresse de régler son imagination et d'en tirer tout le secours qu'il en peut recevoir : car par le secours de la géométrie, l'esprit règle le mouvement de l'imagination, et l'imagination réglée soutient la vue et l'application de l'esprit.

(Rech. de la vér. 43) d PLATON : As-tu aussi observé que ceux qui sont nés calculateurs,

ayant l'esprit de combinaison, ont beaucoup de facilité pour presque toutes les sciences et que même les esprits pesants, lorsqu'ils se sont exercés et rompus au calcul, en retirent au moins cet avantage d'acquérir plus de facilité et de pénétration ? — La chose

est ainsi. (vil, 358) e Faisons une loi à ceux qui sont destinés chez nous à remplir les ·

premières places de s'appliquer à la science du calcul, ...jusqu'à ce que par le moyen de la pure intelligence ils soient parvenus à connaître l'essence des nombres, pour faire servir cette science... à faciliter à l'âme la route qui doit la conduire de la sphère des choses périssables à la contemplation de la vérité et de l'être.

(vil, 357) Ś PASCAL : La méthode de ne point errer est recherchée de tout le

monde. Les logiciens font profession d'y conduire. Les géomètres seuls y arrivent ; hors de leur science et de ce qui l'imite, il n'y a point de véritables démonstrations... (Pensées 27)

Mais je n'eus pas dessein pour cela de tâcher d'apprendre toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément mathématiques; et, voyant qu'encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s'accorder toutes en ce qu'elles n'y considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent, (44)

(44) a DESCARTES : Il faut noter que les comparaisons ne sont diles simples

et claires que toutes les fois que la chose cherchée et la chose donnée participent également d'une certaine nature; que toutes les autres comparaisons n'ont besoin de préparation que parce que cette nature commune ne se trouve pas également dans les deux termes, mais selon certains rapports ou certaines proportions dans lesquelles elle est enveloppée; et que la principale partie de l'industrie humaine ne consiste qu'à réduire ces proportions à un tel point que l'égalité entre ce qui est cherché et quelque chose de connu soit vue clairement. (x1, 296)

(44) b MALEBRANCHE: La vérité n'est autre chose qu'un rapport réel, fait

d'égalité, fait d'inégalité. La fausseté n'est que la négation de la vérité ou un rapport faux et imaginaire. La vérité est ce qui est. La fausseté n'est point, ou si on le veut, elle est ce qui n'est point. On ne se trompe jamais lorsqu'on voit les rapports qui sont et l'on se trompe toujours quand on juge qu'on voit certains rapports, et que ces rapports ne sont point; car alors on voit la fausseté, on voit ce qui n'est point, ou plutôt on ne voit point, puisque le néant n'est pas visible, et que le faux est un rapport qui n'est point. Quiconque voit le rapport d'égalité entre deux fois deux et quatre, voit une vérité; parce qu'il voit un rapport d'égalité, qui est tel qu'il le voit. De même quiconque voit un rapport d'inégalité entre deux fois deux et cinq, voit une vérité, parce qu'il voit un rapport d'inégalité qui est. Mais quiconque juge qu'il voit un rapport d'égalité entre deux fois deux et cinq, se trompe ; parce qu'il voit, ou plutôt parce qu'il pense voir un rapport d'égalité qui n'est point. Les vérités ne sont donc que des rapports, et la

connaissance des vérités la connaissance des rapports. (Rech. 54) c Tous les rapports tant simples que composés, sont de véritables

grandeurs et le terme même de grandeur est un terme relatif qui marque nécessairement quelque rapport. Car il n'y a rien de grand par soi-même et sans rapport à autre chose (sinon l'infini ou l'unité)... il ressort de là qu'on peut exprimer tous les rapports par des chiffres et les représenter à l'imagination par

des lignes. d Ainsi toutes les vérités n'étant que des rapports, pour connaître

exactement toutes les vérités, tant simples que composées, il suffit de connaitre exactement tous les rapports, tant simples que composés. Il y en a de deux sortes, comme on vient de dire, rapports d'égalité et d'inégalité. Il est visible que tous les rapports d'égalité sont semblables ; et que dès qu'on connaît qu'une chose est égale à une autre connue, l'on en connaît exactement le rapport. Mais il n'en est pas de même de l'inégalité : on sait qu'une tour est plus grande qu'une toise, et plus petite que mille toises ; et cependant on ne sait point au juste la grandeur, et le rapport qu'elle a avec une toise.

Pour comparer les choses entr'elles, ou plutôt pour mesurer exactement les rapports d'inégalité, il faut une mesure exacte: il faut une idée simple et parfaitement intelligible, une mesure universelle, et qui puisse s'accommoder à toute sorte de sujets. Cette mesure est l'unité. On prend donc dans chaque espèce de grandeur telle partie déterminée que l'on veut pour l'unité ou la mesure commune ; par exemple, une toise dans les longueurs, une heure dans les temps, une livre dans les poids, etc. Et toutes ces unités sont divisibles à l'infini. Voici comment l'Arithmétique apprend à exprimer toutes sortes de grandeurs, à les comparer entr'elles, et en découvrir les rapports. (Ibid. 57)

e PLATON : Voir renvoi 42, 0. f Quant à l'âme du monde, Dieu l'attacha au centre et de lå l'épandit

partout et en enveloppa le monde entier. Il la composa de l'essence indivisible et de l'essence divisible, qu'il combina en une seule.... Les parties dont ce mélange se compose sont entre elles dans le même rapport que les nombres harmoniques et Dieu établit ces rapports en faveur de la science, afin qu'on n'ignore pas de quoi et par quelle règle l'âme a été composée. (x, 139)

(44) g Tous ces éléments (le feu, la terre, l'eau et l'air), il faut les concevoir

tellement petits que, pris un à un dans chaque genre, ils échappent aux regards par leur petitesse et ne deviennent visibles qu'à la condition de se réunir en grand nombre et de former des masses. Quant à leurs rapports, leurs nombres, leurs mouvements et: leurs autres propriétés, Dieu, par tous les moyens auxquels la nécessité se prêtait, en se laissant persuader par l'intelligence, a réglé et ordonné toutes ces choses avec une parfaite exactitude et

mis partout la proportion et l'harmonie. (vi, 229) h Voilà comment et de quels éléments au nombre de quatre, a été

formé le monde: plein d'harmonie et de proportion, il tient de sa nature cette amitié par laquelle il est si intimement uni avec luimême qu'aucune puissance ne saurait le dissoudre, si ce n'est celle qui a enchaîné ses parties. (vi, 185)

Un physicien, bien convaincu de l'authenticité du passage de la lettre vii, de Platon, qu'on trouvera au renvoi 119, e, n'aurait-il pas facilement traduit cette singulière amitié par le beau mot :

ATTRACTION ? i En un mot, quelque soit la chose que tu supposes exister ou n'exister

pas ou souffrir quelqu'autre modification, tu dois rechercher ce qui lui arrivera par rapport à elle-même et par rapport à chacune des autres choses qu'il te plaira de considérer, ou par rapport à plusieurs, ou par rapport à toutes ; après quoi, examinant à leur tour les autres choses, tu dois encore rechercher ce qui leur arrivera par rapport à elles-mêmes, et par rapport à tout autre objet qu'il te plaira de considérer, soit que tu supposes qu'elles existent ou qu'elles n'existent pas : c'est à la condition de procéder ainsi que tu t'exerceras d'une manière complète et que tu discerneras

clairement la vérité. (iv, 202) i Je pense en effet que si l'étude de toutes les sciences dont nous

venons de parler (Arithmétique, Géométrie, Astronomie et Musique), avait pour but de faire connaître les rapports intimes et généraux qu'elles ont entre elles, cette étude alors serait d'un

grand secours pour la fin que nous nous proposons. (vil, 367) k Lorsqu'ils auront atteint l'âge de vingt ans, tu accorderas à ceux

que tu auras choisis des distinctions plus honorables, et tu leur présenteras dans leur ensemble les sciences qu'ils auront étudiées en détail dans leur enfance, afin qu'ils s'accoutument à voir d'un coup d'œil d'ensemble les rapports que les sciences ont entre

elles, et à connaître la nature de l'être. (vil, 376) 1 DALEMBERT: Descartes conçoit de représenter les rapports (de la

quantité continue : ligne droite et lignes courbes entières) par
des symboles... qu'il s'agisse de découvrir un rapport quelconque
de cette quantité, soit dans les lignes, les surfaces, les solides,
soit dans les mouvements, soit où l'on voudra, on les écrit dans
leurs symboles, et l'interprétation de ces symboles révèle le rap-
port demandé, ce qui permet à la pensée d'embrasser tous les
rapports et égale sa puissance à la nature même des choses. C'est
pourquoi Dalembert s'écrie : « Idée des plus vastes et des plus
« heureuses qu’ait eu l'esprit humain, et qui sera toujours la clef
« des plus profondes recherches, non seulement dans la géométrie
« sublime, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques. »

(Encycl. Disc. prél. 42) m LOCKE: La vraie méthode d'avancer la connaissance, c'est de consi

dérer nos idées abstraites.

C'est pourquoi, si nous voulons nous conduire en ceci selon les

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avis de la raison, il faut que nous adaptions la méthode que nous suivons dans nos recherches aux idées que nous examinons, et à la vérité que nous cherchons. Les vérités générales et certaines ne sont fondées que sur les rapports des idées abstraites. L'application de l'esprit, réglée par une bonne méthode, et accompagnée d'une grande pénétration, qui lui fasse trouver ces différents rapports, est le seul moyen de découvrir tout ce qui peut former, au sujet de ces idées, des propositions générales qui soient véritables et certaines. Et, pour apprendre par quels degrés on doit avancer dans cette recherche, il faut s'adresser aux mathématiciens qui, de commencements fort clairs et fort faciles, s'élèvent par des degrés insensibles et par une suite non interrompue de raisonnements, à la découverte et à la démonstration de vérités qui paraissent d'abord au-dessus de la capacité humaine. L'art de trouver des preuves et des méthodes admirables qu'ils ont inventées pour démêler et mettre en ordre ces idées moyennes, qui font voir démonstrativement l'égalité ou l'inégalité des quantités qu'on ne peut joindre immédiatement ensemble, est ce qui a porté leur connaissance si avant, et qui a produit des découvertes si éton

nantes et si inespérées. (410) n Le seul moyen d'y réussir, c'est de se former des idées claires et

distinctes des choses et d'y joindre des termes fixes qui les représentent; il faut considérer ces idées en elles-mêmes, avec leurs différentes relations, et ne pas s'amuser à des termes vagues et indéterminés qu'on peut prendre en divers sens, selon le besoin qu'on en a. C'est dans la perception des rapports que nos idées ont les unes avec les autres, que consiste la véritable science ; et lorsqu'on voit une fois jusqu'où elles s'accordent ou sont opposées

entre elles, ont peut juger de ce que les autres disent... (53) 0 CONDILLAC : Les proportions et les progressions sont le fondement

de toutes les mathématiques. (109) P NAPOLÉON : ... examinait les choses sous le rapport de leur utilité

immédiate. (Mme de Staël) q Il était assidu aux séances du Conseil d'Etat: revenant toujours à

deux questions : cela est-il juste ? cela est-il utile ? Examinant chaque question en elle-même sous ces deux rapports, après

l'avoir divisée par la plus exacte analyse et la plus détaillée. (Taine) r Voir renvoi 42, a-p. S TAINE: La vie est la fin, les opérations sont les moyens. La vie

nécessite les opérations, comme une définition ses conséquences. Cette nécessité ou force amène, entraîne et produit des opérations, comme elle amène, entraîne et produit des conséquences. Qu'est-elle ? Un rapport. Un rapport entre la vie et les opérations, entre la définition et les conséquences. (326)

je pensai qu'il valoit mieux que j'examinasse seulement ces proportions en général et sans les supposer que dans les sujets qui serviroient à m'en rendre la connoissance plus aisée, même aussi sans les y astreindre aucunement, afin de les pouvoir d'autant mieux appliquer après à tous les autres auxquels elles conviendroient. (45)

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Puis, ayant pris garde que, pour les connoître, j'aurois quelquefois besoin de les considérer chacune en particulier, et quelquefois seulement de les retenir ou de les comprendre plusieurs ensemble, je pensai que, pour les considérer mieux en particulier, je les devois supposer en des lignes, à cause que je ne trouvois rien de plus simple, ni que je pusse plus distinctement représenter à mon imagination et à mes sens; mais que, pour les retenir ou les comprendre plusieurs ensemble, il falloit que je les expliquasse par quelques chiffres, les plus courts qu'il seroit possible ; et que, par ce moyen, j'emprunterois tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre, et corrigerois tous les défauts de l'une par l'autre. (46)

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DESCARTES : Concevoir ainsi toutes ces choses aide beaucoup, puis

que rien ne tombe plus parfaitement sous les sens qu'une figure ; car on la touche et on la voit, et de cette supposition, pas plus que de toute autre, il ne résulte rien d'erroné; la preuve en est que la conception d'une figure est si commune et si simple qu'elle

est renfermée dans tout objet sensible. b En ce qui concerne les figures, il a déjà été montré plus haut comment

c'est par elles seules qu'on peut se former des idées de toutes choses. Il nous reste à déclarer présentement que, de leur mille espèces diverses, nous n'emploierons ici que celles qui expriment le plus facilement toutes les différences des rapports et des proportions. Or il n'est que deux sortes de choses que l'on compare entre elles, les quantités et les grandeurs ; et nous avons aussi pour les représenter à notre intelligence deux espèces de figures :

ainsi, par exemple, les points • • qui désignent un nombre de

triangles, ou l'arbre généalogique li

le fils, la fille.

e Pere I, etc., sont des figures destinées à représenter des quantités ; mais les figures continues et non divisées, telles qu’un triangle ou un carré, etc.,

représentent des grandeurs. (xi, 308) XV. RÈGLE pour la direction de l’Esprit. Il est utile aussi, la plupart

du temps, de tracer ces figures et de les présenter aux sens externes pour tenir plus facilement, par ce moyen, notre esprit attentif.

La manière dont il faut tracer ces lignes, pour qu'au moment où elles sont offertes à nos yeux leur figure se réfléchisse plus distinctement dans notre imagination, s'explique d'elle-même. Ainsi, en premier lieu, nous représenterons l'unité de trois manières : par un carré , si nous la considérons en tant que longue et large; par une ligne — - , si nous ne la considérons qu'en tant que longue; et enfin par un point • , si nous ne la considérons qu'en tant que servant à composer la pluralité.

(x1, 311) d MALEBRANCHE : Ces exemples suffisent à faire connaître que l'on peut

exprimer par lignes et représenter ainsi à l'imagination, la plupart de nos idées, et que la Géométrie, qui apprend à faire toutes

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