parce qu'on a divifé par 12 les coefficients des différents membres de ce quotient, & qu'on a ôté certaines lettres communes à fon numérateur & à fon dénominateur.

8rx 3xx

12-4 x

3r

x

, parce qu'on a divisé par

4 les différents coefficients de la premiere de ces deux fractions.

2 r * - * * donne l'analogie fuivante 3 r—x: 2 r—

3r-x

ཚ

x à la distance du fommet du fegment fphérique en question, à fon centre de gravité. Appliquons cette formule à différents cas, & nous en comprendrons toute la beauté.

1o. Suppofons une fphere AEDF, fig. 6 pl. 7, done le rayon A Cr, ait 10 pieds de long, & dont le fegment AMb N ait 4 pieds d'épaiffeur; l'on aura alors A b = x = 4

Pour trouver le centre de gravité du fegment fphérique AMN, l'on dira, 37-x: 27-x:x : à la dif tance du point A au centre de gravité que l'on cherche donc l'on aura, 26: 17 :: 4 : 2 , c'est-à-dire, que le point A fera éloigné du centre de gravité du fegment AMIN de 2 pieds

20. Si l'on cherche le centre de gravité de la demifphere AECF, l'on prendra garde que l'épaiffeur AC ou x devient & la formule précédente fe changera en celle-ci, 2rr::r: à la diftance du point A au centre de gravité de la demi-fphere AECF; donc 20: :: 10 6, c'est-à-dire, que le point A fera éloigné du centre de gravité de la demi-fphere AECF de 6 pieds & 4.

4

39. Si l'on cherche le centre de gravité de la fphere entiere AEDFC, l'on prendra garde que l'épaiffeur A D eux devient 2, & la formule précédente fe changera en celle-ci, r: ¦r:: 2r: à la diftance du point A au centre de gravité de la fphere AEDFC; donc 10 S :: 20:10, c'eft-à-dire, que dans une fphere quelconque fon centre de gravité concourt avec fon centre de £gure C.

:

Vous voyez, Monfieur, que j'ai eu raifon d'avancer que l'article 374 avoit befoin d'un affez long commentaire. L'Abbé de la Caille avertit à l'article 375 qu'on trouvera le centre de gravité d'une zone fphérique par le moyen de celui du fegment, comme on trouve celui d'un cone tronqué par le moyen du cone entier. Il a raifon. Mais écrire de la forte, c'eft s'épargner beaucoup de peine, & laiffer prefque tout à faire à fon lecteur. Développons donc fa pensée, & mettons-la à la portée des commençants

ordinaires.

Pour trouver le centre de gravité de la zone fphérique AgKD, fig. 6 pl. 7, voici comment je' m'y prends. 1°. Par les principes énoncés aux articles 712, 975 & 976 des Eléments de Mathématiques dont j'ai déja donné le commentaire, je cherche la folidité de la demi-fphere AEDC, & celle du fegment fphérique g E K.

2o. J'ôte la folidité du fegment fphérique g EK de celle de la demi-sphere AEDC; le reftant me donne la folidité de la zone fphérique A g K D.

3°. Je cherche par les principes ordinaires le centre de gravité de la demi-sphere A EDC & celui du segment Iphérique g EK.

4°. Suppofóns que le centre de la demi-sphere AEDC foit au point n, celui du fegment fphérique g EK au point m, & celui de la zone fphérique Ag KD au point x. Pour trouver la diftance nx, vous confidérerez, comme vous avez fait pour le cone tronqué dans votre derniere lettre, la ligne mnx comme un levier de la premiere efpece dont le point d'appui n est chargé de la folidité de la demi-fphere AEDC, & l'extrêmité m de la folidité du fegment fphérique g EK. Vous direz enfuite, nx= folidité du fegment fphérique g EKxmn, divitée par la folidité de la zone fphérique Ag KD. Mais les quantités qui compofent le fecond membre de cette équation font toutes connues; donc nx devient une quantité connue.

Je vous le repete, Monfieur, le commentaire que vous m'avez demandé n'eft pas auffi long que vous vous l'éricz

d'abord imaginé; il eft même trop long pour un homme qui a lu, avec autant d'attention que vous, les Leçons Élémentaires de Mathématiques de l'Abbé de la Caille. J'ai l'honneur d'être, &c.

LETTRE SEIZIE ME.

Remarques fur les articles 376, 377, 378, 384, 385, 389,392, 394, 395, 398, 399, 401, 402, & 403.

Dans la Mécanique de l'Abbé de la Caille, Monfieur, les propriétés des centres de gravité font affez bien expliquées depuis l'article 376 jufqu'à l'article 403. Cependant comme l'importance de la matiere m'a engagé à lire ces articles avec encore plus de réflexion que les précédents, permettez-moi de vous faire part des remar ques que j'ai faites en les lifant. La premiere regarde l'arzicle 376. Il eft dit dans cet article que fi deux corps A, B, fig. 49 pl. 3, dont le centre commun de gravité est en G, font mus dans la droite AB, en fe rapprochant tous deux, ou en s'éloignant tous deux du point G, avec des wîteffes en raifon inverfe de leurs maffes, leur centre commun de gravité reftera fixe au point G.

La démonftration qu'en donne l'Abbé de la Caille eft bonne. Il me paroît cependant que la fuivante eft beaucoup plus fenfible. Je vous en laiffe le juge. La voici. Confidérons la ligne AB comme un levier fans pefanteur dont le point d'appui eft au point G, & aux extrêmités duquel les corps A & B fe trouvent dans un parfait équilibre. Suppofons que le corps A ait 2 livrés & le corps B

livre de maffe. Suppofons encore que la ligne A B ait 6 pieds de longueur; le corps A (art. 233 ) fera à 2 pieds, & le corps B à 4 pieds du point d'appui G.

Faifons approcher ces deux corps du point G avec des viteffes en raifon inverfe de leurs maffes. Si le corps A

s'approche de 1 pied du point G, le corps B s'en approchera de 2. Dans cette hypothefe, le point d'appui (art. 216, 217) du levier A B ne changera pas. Il en feroit de même, fi la ligne A B avoit plus de longueur, & que le corps A s'éloignât de 1 pied du point Ğ, tandis que le corps B s'en éloigneroit de 2. Donc deux corps peuvent être mus uniformément fur un levier dont le point d'appui refte fixe.

Ce qu'on dit du point d'appui G doit fe dire du centre de gravité des corps A & B ; donc il n'est rien que de vrai dans l'expofé de l'article 376.

Il est dit à l'article 377 que fi deux corps A, B, dont le centre commun de gravité eft en G, font mus uniformément en fens contraire le long de deux paralleles Aa, Bb; enforte que leurs vîteffes foient en raifon inverse des maffes, ou, comme AG à BG; leur centre commun de gravité G reftera auffi fixe en G, fig. 7 pl. 7. La démonstration fuivante me paroît plus claire que celle de M. l'Abbé de la Caille.

Confidérons la ligne BGA comme un levier dont le point d'appui eft en G, & donnons 2 livres de maffe au corps B, & i livre au corps A. Suppofons enfuite que la ligne Bь, parcourue en 2 inftants par le corps B,ait 2 pieds de longueur; la ligne A a, parcourue en 2 inftants par le corps A, en aura par-là même 4. Tirons enfin la ligne m Gn qui partage en 2 parties égales les lignes A & B b. Cela fait, voici comment je raisonne.

Puifque les corps A & B fe meuvent d'un mouvement uniforme, avec une vîteffe qui foit en raifon inverfe de leurs maffes, le corps B ira au premier instant du point B au point m, tandis que le corps A ira du point A au point n; je dis que ces 2 corps arrivés, l'un en m & l'autre en n, auront leur centre de gravité au point G. En effet lø centre de gravité des corps A & B, arrivés en n & m, doit être tellement placé, que leur diftance à ce centre foit comme A G à B G. Mais à caufe des triangles femblables AGn, BGm, l'on a Gn; Gm:: AG; BG:

donc le centre de gravité des corps A & B, arrivés en n

&m, eft au point G.

Ce que nous avons dit des points m & n, nous le dirons des autres points pris fur les lignes Bb & Aa; donc Particle 377 eft incontestable.

Il en eft de même de l'article 378. Tout ce qu'on pourroit ajouter à la démonftration qu'il préfente, c'eft que, lorfqu'il s'agit de la figure 52 de la planche 4, il ne faur pas dire fimplement SB: Sb:: BA: ba; mais il faut dire SB: Sb::SA: Sa; donc SB+SA: SB:: Sb+ Sa Sb; donc BA: SB::ba: Sb; donc SB: Sb:: BA :ba.

L'article 379 n'a pas befoin de commentaire. Il en eft de même de l'article 380; la vérité qu'on y énonce, y eft préfentée avec toute la clarté poffible.

Pour ce qui regarde les scholies des articles 381, 382 & 383, elle fe comprennent à la premiere lecture. Je ne crois pas cependant qu'elles aient été traitées avec toute l'étendue dont elles font fufceptibles; voyez, Monfieur, fi vous voudriez y fuppléer.

L'article 384 n'en feroit que plus clair, fi l'Abbé de la Caille eût commencé ainfi fa démonftration; on a par la nature du centre de gravité, & par la conftruction des figures, M: N:: BG: AG; donc, componendo, M : M+N:: BG: BG+AG; donc M: M+N:: BG : BA &c. Le refte ne peut pas être lu avec attention, fans être compris par ceux qui favent manier les plus fimples équations de l'algébre.

Les équations de l'article 385 font de la même efpece; elle ne demandent que d'être lues avec attention. Le renvoi à l'article 359 eft apparemment une faute d'impreffion; c'eft à l'article 380 que l'Auteur a voulu renvoyer. Je ne vois gueres de relation entre les articles 359 & 385. J'en vois auffi peu entre ce dernier article, & l'article 72. Il eût été plus fimple de faire remarquer que, par tous les raifonnements qu'on a faits, on, a réduit les choses au cas de l'article 384.