I

fubftituera la raifon deà à celle de E à e, & l'on

I

u

dira T::: VV: donc les tems employés à parcou

u

rir des efpaces qui font en raison inverse des vîteffes font réciproquement comme les quarrés des viteffes. Ils font encore directement comme les quarrés des efpaces.

I Ι

E

En effet fuppofons que Vu:: , c'est-à-dire, fuppofons les vîteffes en raison inverfe des efpaces parcourus, l'on aura, au lieu de la proportion T :::

divifé par

I

EE

I

E

V

: e divifé

EE, de même e

ee ee; donc l'on aura T:::EE: ee; donc les tems employés à parcourir des efpaces qui font en raifon inverte des viteffes, font directement comme les quarrés des efpaces parcourus; donc l'article 58 contient une vérité inconteftable.

Pour commenter l'article 60, je nomme F la force du corps A, M fa maffe, V fa viteffe; je nomme auffi fla force du corps a, in fa maffe, u fa vîteffe. J'ai donc FMV, & fmu; j'ai encore F: f:: MV: mu; j'ai enfin Fmu-fMV. C'eft de cette équation que je tire les vérités fuivantes.

Fmu=fMV; donc fi F=f, l'on aura MVmu, ou M: m :: u: V; donc deux corps qui ont même force, ont leurs maffes en raifon inverfe de leurs viteffes.

Fmu fMV; donc fi mM, l'on aura Fu=fV, ou Ff::Vu; donc deux corps qui ont même maffe, ont leurs forces en raifon directe de leurs vîteffes.

Fmu fMV; donc fi Vu, l'on aura FmƒM, ou Ff::Mm; donc deux corps qui ont même vîteffe, ont leurs forces en raifon directe de leurs maffes. L'article 62 eft fans contredit le plus difficile de tous;

je fuis sûr cependant que ce fera celui qui vous embarraffera le moins; je fais que vous avez lu ce que dit M. l'Abbé de la Caille fur le calcul différentiel & intégral, à la fin de fes Élémens de Mathématiques. Rappellez-vous donc qu'un efpace quelconque fini e eft compolé d'un nombre infini d'efpaces infiniment petits; donc. e=sde; donc fit=, l'on aura t =

e

น

sde

น

S

de

น

De

même un tems quelconque fini eft compofé d'une infinité de tems infiniment petits; donc sdt; donc fietu, l'on aura e sdtu. Ce font là, M., les feu-les chofes qui peuvent arrêter un commençant dans la lecture du chapitre où l'Abbé de la Caille traite du mouvement rectiligne réel, fimple & uniforme. Vous pourrez paffer enfuite au mouvement compofé, absolu & uniforme ; c'eft un des beaux morceaux du Traité de Mécanique que vous avez entre les mains. J'ai l'honneur d'être &c. G

LETTRE TROISIEME.

Contenant des remarques fur les articles 68,79,84 & 96.

,

E chapitre du mouvement compofé, abfolu & uniforme eft en effet, Mr un des beaux morceaux de la Mécanique de l'Abbé de la Caille. Il n'a besoin d'aucun éclairciffement ; & fi j'en fais la matiere de cette lettre, ce n'eft que pour vous communiquer quelques remarques que j'ai faites en le lifant. Entrons en matiere je fais que vous n'aimez pas les préambules inu

tiles.

d'a

La démonftration de l'article 68 n'a prefque fait aucune impreffion fur mon efprit. J'aimerois mieux près Privat de Molieres, la préfenter à peu près en ces termes, en me fervant cependant de la figure de la Caille, c'est la figure de la planche 1. Concevez.

que le Mobile en repos au point C, ne fe meuve d'abord que par l'action de la feule force p, dont la direction eft pCA, & qu'il y parcoure CA durant le tems T qu'enfuite ceffant de fe mouvoir en ce fens, & étant en repos au point A, il fe meuve par l'action de la feule force P dans la direction CD devenue AB, parce que les lignes CD & AB font paralleles; il eft clair que dans un pareil tems Te Mobile parcourroit dans ce cas la ligne AB égale à la ligne CD, & que par conféquent le Mobile par l'action disjointe des deux forces p, P arriveroit au point B. Or deux, forces p Pagiffant conjointement fur un Mobile, y doivent produire le même effet qu'elles y produiroient en agillant féparément & de la même façon, chacune durant le même tems. Donc l'action conjointe p, P doit tranfporter le Mobile du point C au point B, & lui faire parcourir la diagonale CB durant le tems que la feule force P l'auroit traníporté de C en D, ou que la feule force p l'auroit tranfporté de C en A.

Le Geometre délicat, continue Privat de Molieres, fera fans doute furpris de ne pas fe fentir, frappé, dans la démonftration de cette propofition, de la même conviction dont on fe fent frappé dans les démonftrations dans les y des propolitions géométriques mais il n'y a pas tant lieu de s'en étonner. Les Principes d'où les propofitions géométriques dependent font des Principes néceffaires ; au lieu que le Principe, d'où celle-ci dépend n'eft qu'un Principe de convenance fondé fur l'idée de la plus grande fimplicité, & fur un nombre prodigieux d'expériences. D'où il fuit que fi ce Principe n'eft pas métaphyfiquement évident, il eft au moins phyfiquement certain & par conféquent indubitable,

Gette derniere remarque de Privat de Molieres doit nous faire regarder comme bonne la démonftration qu'a donné l'Abbé de la Caille, à l'article 68. En tout cas s'il eût pu en cette occafion en donner une un peu mieux travaillée, il a bien réparé fa faute, à l'article

84 qui roule à-peu-près fur la même matiere; tout ce qu'il dit dans cet article, & dans les 4 à 5 fuivants eft nouveau & d'un goût exquis.

T

Pour l'article 79, il m'a paru très difficile à la premiere lecture; mais les difficultés ont difparu, lorfque je me fuis rappellé la fameufe propofition de la Trigonométrie rectiligne qui dit que dans tout triangle rectiligne fcalene la fomme des deux côtés quelconques eft à leur différence, comme la tangente de la demi-fomme des deux angles oppofés à ces côtés eft à la tangente de la demidifference de ces deux angles. Cela fuppofé, j'ai examiné le triangle scalene, CDB de la figure 5 de la planche I, dans lequel on connoît le côté CD 10, le côté DB 13, & l'angle obtus CDB de 124 degrés. Pour trouver l'angle aigu BCD, j'ai opéré de la forte. 23, fomme des deux côtés CD & DB: à 3, différence la tangente de 28 degrés, demifomme des angles BCD & CBD: à la tangente de la demi-différence de ces deux angles; ou bien

de ces mêmes cotes.

::

:

1,3617278, logarithme de 23, eft à 0,4771212, logarithme de 3 comme 9,7256744, logarithme de la tangente de 28 degrés, eft à 8,8410678, logarithme de la tangente de 3 degrés, 58 minutes; donc la demidifférence des angles BCD & CBD eft de 3 degrés 58 minutes; donc ajoutée à leur demi-fomme, 28 degrés, elle donnera l'angle BCD; donc fouftraite de 28 degrés, elle donnera l'angle CBD donc l'angle BCD eft de 31 degrés 58 minutes, & l'angle CBD eft de 24 degrés 2 minutes. Cela fait, j'ai connu la bafe CB du triangle CDB par les opérations fuivantes. 9,7238051, logarithme du finus de l'angle BCD, eft à 1,1139433, logarithme du côté DB: comme 9,9185742, logarithme du finus de l'angle CDB, eft: à 1,3087124, logarithme de 20, 36; donc la valeur. de la bafe CB eft 20, 36. Ces opérations une fois faites, j'ai fuivi fans peine l'Abbé de la Caille, non, feulement le refte de l'article 79, mais encore le refte

du chapitre fur le mouvement composé, abfolu & unis forme. Le chapitre fuivant m'a paru beaucoup plus difficile. Je vous prie de m'en envoyer le commentaire en commençant à l'article 96. J'ai l'honneur d'être &c.

RÉPONSE.

Contenant des remarques fur les articles 96, 97, 98, 99, 223 & 226::

V

Ous avez raison, M., le chapitre de la Mécanique où l'Abbé de la Caille parle du mouvement rectiligne uniformément accéléré, ou de la chûte libre des corps & de leurs mouvements für des plans inclinés, a befoin d'un très grand commentaire. Je le commencerai à l'article que vous avez défigné vous-même, c'est-à-dire, à l'article 96 de la démonftration duquel vous n'avez pas été apparemment content. Peut-être aimerez-vous mieux la démonstration que l'on donne de ce théorême dans tous les élémens de Statique; je vais vous la présenter avec toute la clarté dont je ferai capable; elle est un peu moins difficile que celle de l'Abbé de la Caille, mais cependant elle ne lui eft pas préférable. Venons au fait.

Il s'agit de démontrer que dans le mouvement uniformément accéléré, l'espace e parcouru pendant un certain tems finit, compté depuis le commencement du mouvement, n'eft que la moitié de l'efpace que parcourroit uniformément dans le même tems, un corps qui auroit acquis une vîteffe u égale à celle qui fe trouve acquife par l'accélération, à la fin du tems t.

Explication. Je fuppofe que le corps B, Fig. 1 Pl. 6, fe meuve pendant 5 inftants égaux d'un mouvement uniformément accéléré, de telle forte qu'à la fin du premier inftant repréfenté par BE, il ait une vîteffe exprimée par En; à la fin du fecond inftant représenté par EF, il ait une vîteffe exprimée par Fo; à la fin du troifieme inftant représenté par FG, il ait une vîteffe