LETTRE DIX-SEPTIEME. Remarques fur les articles 416, 420, 428, 429,432, 433, 440, 442 & 443. L I faut que l'Abbé de la Caille ait l'efprit bien net Monfieur pour avoir préfenté d'une maniere auffi claire ce qu'il dit dans la troifieme partie de fa Mécanique fur la théorie des mouvements en ligne courbe. J'ai faifi à la premiere lecture toutes les vérités comprifes entre les articles 404 & 415. L'article 416 ne préfente aucune difficulté réelle à quiconque prend garde qu'une quantité infiniment petite (Elém. 355) jointe ou féparée d'une quantité finie, se peut négliger dans le calcul, & qu'ainsi e ± I =a. Il faudra encore fe rappeller pour l'intelligence de cet article que fi AB: IB: IB: i, l'on aura × AB — I B2; donc A BIB. Donc A BIB2. L'on aura ∞ par Ι : a la même méthode AC=FC2 &c. fig. 65 pl. 4. Les articles 417 & 418 font des conféquences néceffaires de l'article 416; ils n'ont par conféquent befoin d'aucun commentaire. L'article 419 eft bien. L'article 420 eft affez inutile, après ce qui a été dit à l'article 409. La concavité de la courbe décrite eft toujours du côté du point fixe, ou du centre auquel tend continuellement l'une des deux forces dont le mobile est agité. L'article 421 eft très clair, lorfqu'on fe rappelle les vérités démontrées aux articles 407, 405 & 44. Les premieres définitions du calcul intégral fuffifent pour comprendre l'article 422. Il faut auffi que le lecteur ait préfent à l'efprit l'article 49 de ce traité de Mécanique. Ce que dit l'Abbé de la Caille au commencement de ce même Traité fur le mouvement rectiligne réel, fimple & uniforme, conduit à l'intelligence des articles 423 & 424. Que l'on le rappelle cependant en particulier les articles 54 & 44. Pour ce qui regarde les vérités comprises entre les articles 425 & 443, on peut dire qu'elles font en même→ tems faciles & difficiles; difficiles en elles-mêmes, faciles pour ceux qui ont étudié le Traité des Sections Coniques que l'Abbé de la Caille nous a donné dans fes Leçons Elémentaires de Mathématiques. Qui ne voit pas en effet que l'équation à la parabole étant y y=px, on en conclut que p? Or cette derniere équation eft l'expref CE fion algébrique de celle-ci PL que nous lisons à l'ar EL ticle 428, parce que CE=y, & EL=x, fig. 68 pl. 4. Je ne fuis rien moins que content de la démonf tration de l'article 429; il me paroît qu'on doit lui préférer la fuivante. Je fuppofe que le corps C, fig. 70 pl. 4 foit pouffé fuivant la ligne CA avec deux degrés de vîtesse dont chacun foit capable de lui faire parcourir uniformément 30 pieds à chaque feconde de tems. Je fuppofe encore que la verticale BC ait 60 pieds de longueur. Cela fuppofé, voici comment je raisonne. Si le corps C defcendoit librement en vertu de fa pefanteur, il parcourroit d'un mouvement uniformément accéléré en 2 fecondes de tems la verticale BC; & arrivé au point C, il auroit acquis 2 degrés de vîteffe dont chacun. feroit capable de lui faire parcourir uniformément 30 pieds à chaque feconde de tems, comme il est démontré aux articles 90 & fuivants. Il eft encore fûr que fi le corps C étoit pouffé perpendiculairement en haut avec la vîteffe qu'il a acquife en defcendant, il remonteroit de C en Ben 2 fecondes de tems avec un mouvement uniformément retardé; donc de quelque maniere qu'un corps décrive une parabole, la force qui le poulle uniformément peut être exprimée par une ligne CB verticale, égale à la hauteur où il feroit monté, fi cette même force l'avoit pouflé perpendiculairement en haut. L'article 430 contient le plus clair & le plus fimple de tous les calculs ; il n'a par conféquent befoin d'aucun commentaire. L'article 431 fuppofe la connoiffance des articles 781 & 816 du Traité des Sections Coniques. Cette connoiffance une fois fuppofée, voici comment je raifonne : dans la parabole CSN, fig. 70 pl. 4, le point S eft le fommet de la parabole & par-là même l'origine de l'axe principal; le point F en eft le foyer, & le point C l'origine du diametre CI. Or la diftance du point S à la directrice à la distance du point S au foyer de la parabole :: la diftance du point Cà la même directrice : à la diftance du point Cau même foyer; parce que la diftance de l'origine de l'axe principal à la directrice à la diftance de la même origine au foyer de la parabole :: la diftance de l'origine d'un diametre quelconque CI à la même directrice : à la distance de la même origine au même foyer. Mais la diftance de l'origine S de l'axe principal à la directrice eft le quart du parametre de cet axe; donc la diftance de l'origine C d'un diametre quelconque CI à la directrice doit être le quart du parametre de ce diametre. Mais on vient de démontrer que la verticale CB eft le quart du parametre du diametre CI; donc la verticale C B eft la distance du point Cà la directrice de la parabole CS N. L'on peut, fans le fecours de l'article 432, démontrer l'article 433 d'une maniere beaucoup plus claire. En effet plus la force du jet fera grande, plus auffi la verticale CB aura de longueur; plus la verticale C B aura de longueur, plus auffi le fommet S de la parabole CSN fera éloigné de la directrice BT; plus le fommet S fera éloigné de la directrice BT, plus auffi le foyer de la parabolė CSN fera éloigné du fommet S, parce que la parabole cft une ligne telle que les deux diftances de chacun de fes points, l'une à la directrice & l'autre au foyer, font égales entr'elles; donc le foyer de la parabole fera d'autant plus éloigné de fon fommet, que la force du jet fera plus grande grande par rapport à celle de la pefanteur; & c'eft-là la premiere partie de l'article 433. L'on affure dans la feconde partie de cet article que la direction du jet faifant un angle avec celle de la pefanteur, le foyer de la parabole fera d'autant plus éloigné de fon fommet, que l'angle formé par les directions de ces deux forces approchera plus d'être droit. En effet fi la ligne CA faifoit un angle droit avec la ligne CI, le point Č(426) feroit le fommet de la parabole, & par-là même la diftance de ce fommet au foyer feroit CB, tandis que dans la position où eft C A vis-à-vis CI, la diftance du fommet S au foyer de la parabole, eft égale à la diftance du fommet S à la directrice BT; donc le foyer de la parabole fera d'autant plus éloigné de fon fommet, que l'angle formé par les directions de ces deux forces approchera plus d'être droit. Je ne vois pas ce qui pourroit arrêter le lecteur dans la folution du problême de l'article 434, & dans les 4 corollaires qui en dépendent, en fuppofant qu'il ait préfentes à l'efprit les vérités démontrées dans les articles auxquels l'Auteur a foin de le renvoyer. Il en eft de même du problême propofé à l'article 439. Que l'on fe rappelle fur-tout que HE, fig. 71, 72 pl. 4 ne peut pas être la foutangente de CH, fans être double de l'abfciffe qui correfpond à l'ordonnée CE; donc SE eft l'abfciffe en question; donc S eft le fommet que l'on cherche. Ce à quoi il faut s'attacher en lifant l'article 440, c'eft de bien fe perfuader que le point E, fig. 7 pl. 4, est précisément entre C & B. En effet la parabole dont il s'agit dans cet article, a pour fommet le point S, la ligne SE pour axe, & de fes deux branches l'une paffe par le point C & l'autre par le point B; donc C B eft une double ordonnée à l'axe SE; donc le point E eft précisément entre C & B. Maintenant à caufe des triangles femblables CHE, CAB, l'on dira CE; CB HE AB; mais CE=CB; H donc HEAB; donc HEAB; mais SE = } HE; donc SE AB. ! On prouvera par un raifonnement femblable que lorfque F'angle de 45 degrés NCM eft l'angle de projection, & le point M la pofition du but, la hauteur à laquelle le corps s'élévera fera le de N M NM, & par conféquent le parametre CP. L'article 441 n'a pas donc befoin de du commentaire. Il en eft de même de l'article 442, pourvu qu'on fe rappelle que le dernier des trois renvois regarde l'article 465 & non pas l'article 438 des Eléments de Géométrie. L'article 443 fuppofe qu'on a préfente à l'efprit la propofition démontrée à l'article 726 des Eléments de Trigonométrie. Pour les remarques que fait l'Abbé de la Caille depuis Particle 444 jufqu'à l'article 450, elles me paroiffent avoir befoin d'un ample commentaire. Je vous prie d'y travailler & de m'en faire part. J'ai l'honneur d'être, &c. n'eft RÉPONSE. pas feulement, Monfieur, d'un ample commentaire, c'est d'un traité dans toutes les formes fur les mouvements circulaire & elliptique, qu'ont befoin les remarques dont vous me parlez à la fin de votre lettre. Je vais y travailler à tête repofée; & lorfque j'y aurai mis la derniere main, vous ferez, je vous l'affure, le premier à qui je le communiquerai. Vous pouvez, en attendant, continuer l'étude de la Mécanique de l'Abbé de la Caille. Le Traité que je vous annonce, fera comme le fupplément à ce que nous a dit cet Auteur dans fa troifieme partie fur la nature & les propriétés du mouvement en ligne courbe. J'attens avec une efpece d'impatience le compte que vous ne manquerez pas de me rendre des propofitions comprifes entre les articles 451 & 488. Je fouhaite qu'il reffemble à celui qui fait la matiere de la lettre que je viens de rece CE com |