Réponse. En fuppofant B = A, & en supposant A 10, l'on aura = 1; l'on aura donc SA=1, SB =}, A = 10, & B = 1. Tranfportons toutes ces valeurs dans la formule SKl'on aura S K= IXIo;XI SAXAS B2 x B SAXA+ SBXB 10+ 10+ 2 IXIO X X I divifé = 94 par 32 = 183=141, parce que le nu 282 144 288. mérateur & le dénominateur de la fraction 282 ont été divifés par 2. Mais en divifant par 3 le numérateur & le dénominateur de 141, l'on trouve pour quotient; donc les fuppofitions que fait l'Abbé de la Caille dans la folution du problême dont il s'agit, donnent SK = 144 47 48° Seconde queftion. En faifant les mêmes fuppofitions que dans la queftion précédente, la formule SK= donne-t-elle SK 47 ? 48 9nxSA++4SA 9n-+-6 Réponse. La chofe eft inconteftable. En effet en faifant les mêmes fuppofitions que dans la question précédente, l'on a n = 10; donc l'on a SK = 90X I 4X I 90+6 247, en divifant par 2 le numérateur & le dénominateur de 94 48 96 Voilà, Monfieur, des éclairciffements qui doivent mettre à la portée de tout le monde les 9 articles qui regardent les pendules compofés. Vous pouvez fans crainte entreprendre la lecture de ceux qui regardent le pendule fimple dans la cycloïde, vous en favez plus qu'il n'en faut pour les comprendre fans le fecours de perfonne. Vous pouvez en tout cas toujours compter fur celui qui fera toute fa vie, &c. LETTRE VINGTIEM E. Remarques fur les articles 519, 522, 522, 523i 524525. Ous voici enfin arrivés, Monfieur, au dernier cha fin qu'il fe propofe dans ce chapitre, c'eft de démontrer que les vibrations d'un même pendule dans la même cycloïde font toujours ifochrones, quelque grande ou queique petite étendue qu'elles aient. Pour mettre fon lecteur à même de faifir cette importante vérité, il donne des définitions, il pofe des lemmes, il propose un problême & il met en avant plufieurs théorêmes. Ses définitions font à la portée de tout le monde, & ce feroit vouloir les obfcurcir, que de tenter de les commenter. Il en eft prefque de même du premier des deux lemmes. Il eft bon cependant de remarquer que puifque CH eft perpendiculaire à CD, fig. 93 pl. V de la Mécanique, & puifque CD eft confidéré comme un rayon qui, en tournant fur le point D, eft capable de décrire un cercle don: le point C feroit un arc infiniment petit, il fuit évidemment (art. 461 des éléments) que CH eft une tangente à cet arc. Elle est donc en même-tems tangente à la cycloïde au point C, car dans ce point l'arc de cycloïde eft confondu avec un arc du cercle infiniment petit qui auroit CD pour rayon. Le fecond des deux lemmes n'eft pas plus difficile que le premier, lorfqu'on eft une fois bien convaincu que EN M N. Pour s'en convaincre, il ne faut pas avoir recours à l'article 545 des Eléments, mais il faut confidérer que EN eft la tangente de l'arc EM, & MN la tangente de l'arc M E. Or EM-ME; donc EN MN. Si la corde EM eft la moitié de l'arc de cycloïde LE, la corde EF fera par-là même la moitié de l'arc de cycloïde BE; donc le contour de la cycloïde eft quadruple du diametre de fon cercle générateur. La démonftration du problême de l'article $23, n'a befoin, pour être comprife, que d'avoir préfents à l'efprit les articles qui y font cités. En effet le point P fe trouve évidemment dans le plan du parallelogramme DK PH fig. 92 pl. V de la Mécanique. Mais ce parallélogramme eft évidemment dans le plan de la cycloïde AV B; donc le point P est évidemment dans le plan de la cycloïde A V B. Les théorêmes des articles 524, 525 & 526 demandent d'être lus avec beaucoup d'attention. Pour bien compren-, dre le premier des trois, je me fuis d'abord rappellé, Monfieur, la réponse que vous fites à la troifieme des lettres que j'ai eu l'honneur de vous écrire depuis que j'ai entrepris l'étude de la Mécanique. Il fuit de cette réponse que la viteffe acquife par un corps qui tombe librement en vertu de fa pefanteur, eft comme le tems qu'a duré fa chûte. Mais il fuit de cette même réponse que l'efpace que parcourt ce corps eft comme le quarré du tems employé à le parcourir; donc cet espace eft comme le quarré de la vîteffe acquife, ou ce qui revient au même, donc la viteffe. acquife à la fin de la chûte, eft comme la racine quarrée de l'efpace parcouru; donc l'Abbé de la Caille a eu raison d'avancer au commencement de l'article 524, que la vîtesse en M, fig. 92 pl. V de la Mécanique, eft comme v R S. Je me fuis enfuite bien convaincu que RV-V DVO2. En effet les deux triangles rectangles DOV, VRO font femblables; donc V D: VO :: VÕ: RV; donc RVVD =V O2. L'on a par la même raifon SVxVD=VQ2 à caufe des triangles rectangles femblables DQV, QS V. Le théorême de l'article 525 fuppofe qu'on eft bien convaincu que les tems employés à parcourir des efpaces proportionnels aux vîteffes, font égaux entr'eux. En effet nommons E l'espace parcouru dans le tems T avec la vîteffe V, &e l'efpace parcouru dans le tems t avec la vîtelle u; je dis que fi E:e:: Vu, l'on aura T=1. En voici la démonstration, E V = ;, & u = ;( art. 44); done fi E: e::V : u, Mais cette derniere équation fuppofe T = t; donc les tems employés à parcourir des efpaces proportionnels aux vîtesses font égaux entr'eux. Il me paroît au refte, Monfieur, que la démonstration de ce théorême eft finie à ces mois, or à caufe, &c.; tout le refte eft inutile. Il n'eft rien à ajouter à la démonstration du théorême de l'article 526; & la vérité de ces trois théorêmes une fois fuppofée, l'article 527 ne contient plus aucune difficulté. Il n'en eft pas ainfi de l'application & des ufages que l'Abbé de la Caille tire de la théorie précédente; il en eft certains qu'il eft néceflaire de mettre à la portée du commun des lecteurs. Je vous demande cette derniere grace avec la même confiance que je vous ai demandé toutes les autres. Vous pouvez être affuré qu'il n'eft que ma reconnoiffance qui puiffe l'emporter fur l'attachement refpectueux avec lequel j'ai l'honneur d'être, &c. Es REPONSE. Remarques fur les articles 532 & 339. DES 13 derniers articles de la Mécanique de l'Abbé de la Caille, il n'eft, Monfieur, que les 532, & 539°, qui ne foient pas à la portée du commun des lecteurs. Il me paroît même qu'il doit s'être gliffé une faute de calcul dans le premier des deux. Recommençons les opérations qui y font indiquées, & nous verrons qui des deux a raison, de l'Auteur ou du Commentateur. Ces fautes au refte ne tirent pas à conféquence, elles font de pure inattention, & elles échappent aux plus habiles calcu lateurs. L'Abbé de la Caille affure d'abord que 285 eft précifément la moitié de 52. Il a raison. En effet la moitié de 200 200 100 1000 1000 <7 57. Mais 57 285 , parce qu'en multipliant ces deux fractions en croix, l'on trouve 57000 57000; donc, &c. 355 Il dit enfuite que le quarré de 1935 eft à 220, 285 lignes, comme le quarré de 60 tierces eft à 2174, 128 lignes. Je crois que le dernier terme de cette proportion doit être 2196, 688 lignes. En voici le calcul. 361 1225 Le quarré de 1935 126025 45496250 La proportion dont parle l'Abbé de la Caille eft done celle-ci. 45496250: 220, 285:: 3600 : x. 126025 45496250 45496250 Pour trouver la valeur de x, je multiplie 220, 285 par 3600, & j'ai pour produit 793026, 000. Je divife ce produit par 45406250 & le quotient me donne la valeur que je 2 126025 cherche. Or le quotient en queftion eft 793026,000 X 126025 99941101650,000 2196, 688 lignes 15 pieds 3 pouces & un peu plus d'une demi-ligne; donc le quatrieme terme de la proportion dont parle l'Abbé de la Caille à l'article 532, doit être 2196, 688 lignes, & non pas 2174, 128 lignes. Examinez cependant, Monfieur, fi je ne me fuis pas trompé dans mon calcul; il eft affez long, pour qu'il puiffe s'y être gliffé quelque faute d'inattention. Pour l'article 539, il demande, je le fais, un grand commentaire. Auffi fera-t-il partie du fupplément que je vous ai promis de donner au traité de Mécanique que vous venez de lire avec tant d'attention: vous le recevrez au premier jour; & vous comprendrez par-là que rien ne me coûte, lorfqu'il s'agit de vous donner des preuves de l'attachement fincere avec lequel je ferai toute ma vie, &c. |