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exprimée par Gp; à la fin du quatrieme instant représenté par GH , il ait une vitesse exprimée par Hq; à la fin du cinquieme instant représenté par HA , il ait une vitesse exprimée par AC; je dis que si le corps B avoit eu au commencement de son mouvement une vitesse représentée par AC, & qu'il l'eût conservée pendant tout le tems qu'il s'est mũ, sans augmentation ou diminution quelconque, c'est-à-dire , fi le corps B avoic eu au commencement du premier instant une vîtesse représentée par BD, au commencement du second une vîtesse représentée par El, au commencement du troifieme une vîtesse représentée par FK, au commencement du quatrieme une vîtesse représentée par GL , & au commencement du cinquieme une vitesse représentée par HM, je dis que le corps B auroit parcouru un efpace double de celui qu'il a parcouru.

Demonstration. Dans le premier cas d'un mouvement uniformément accéléré, le corps B auroit parcouru l'aire du triangle BAC : dans le second cas d'un mouvement constant & uniforme, il auroit parcouru l'aire du quadrilatere ABCD, double de l'aire du triangle BAC; donc fi le corps B avoit eu au commencement de son mouvement une vîtesse égale à celle qu'il a eue à la fin, & s'il l'avoit conservée pendant tout le tems de fon mouvement sans augmentation ni diminution, il auroit parcouru un espace double de celui qu'il a parcouru.

L'Abbé de la Caille a donc eu raison d'avancer que puisque dans le mouvement constant & uniforme la form mule de l'espace parcouru est e=ut, elle sera dans le mouvement uniformément accéléré e = ". Il y a donc dans un corps qui tombe une vitesse acquise & une vitesse qui s'acquiert. Un degré de vitesse acquise fait parcourir au corps qui tombe un espace double de l'espace que fait parcourir au même corps un degré de la vitesse qui s'acquiert.

Corollaire. L'accélération de la chûte des corps graves se fait suivant la progression arithmétique des

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4

nombres impairs 1,3,5,7,9, &c. En effet fupposons que le corps A descende pendant trois instants en suivant la ligne AB, Fig. 2 Pl. 6. Supposons encore que pendant le premier instant de fa chûte il ne parcoure que i pied , je dis qu'il en parcourra 3 pendant le second instant , & 5 pendant le troisieme.

En effet , par hypothese , le corps A pendant le premier instant de la chûte ne parcourt qu'un pied en vertu d'un degré de vitesse qu'il acquiert peu-à-peu ; donc au commencement du second instant il aura 2 degrés de vîtesse, l'un acquis. & l'autre qu'il acquiert ; le premier lui fera parcourir 2 pieds , & le second 1 ; donc pendant le second instant de sa chûte le corps A parcourra 3 pieds. Au commencement du troisieme instant il aura 3 degrés de vîtesse, 2 acquis & i qu'il acquiert; ceux-là lui feront parcourir 4 pieds & celui-ci i ; donc pendant le troisieme instant il parcourra s pieds ; donc L'accélération &c. Cette démonstration est dans le fond da même que celle de l'article 97 de la Mécanique de l'Abbé de la Caille.

Celles des articles 98 & 99 se présentent d'elles-mêmes. On y avance que dans un mouvement uniformé. ment accéléré, les espaces parcourus depuis le commencement du mouvement jusqu'à la fin de chacun des intervalles égaux des tems

sont entr'eux comme les quarrés des tems. L'on a raison. En effet fuppofons que le corps A tombe pendant deux instants de fuite , je dis que l'espace parcouru pendant le premier instane sera à l'espace parcouru pendant les deux premiers instants, comme le quarré de 1=1, est au quarré de 2 = 4, c'est-à-dire, je dis que l'espace parcouru pendant ? le premier instant sera quatre fois moindre que l'espace parcouru pendant les deux premiers instants.

Demonstration. Les corps graves qui tombent librement sur la terre , doivent parcourir & parcourent en effet 15 pieds pendant la premiere seconde de tems & 45 pieds pendant la seconde suivante ; donc l'espace

parcourg

E

parcouru pendant le premier instant est à l'espace parcouru pendant les deux premiers instants, comme 15 est à 60. Mais 15: 60 ::1:4; donc les espaces parcourus par les corps graves , à commencer du premier instant de la chûte, répondent aux quarrés des tems employés à les parcourir į donc l'Abbé de la Caille a eu raison d'avancer que dans les mouvements uniformément accélérés, l'on peut faire e = ti. Ce qu'il dit depuis l'article 100 jusqu'à l'article 112 inclusivement , fe comprend à la premiere lecture. Il n'en est pas ainsi de l'article 113.; il a besoin d'un ample commentaire ; le voici.

L'Abbé de la Caille avance dans cet article que des deux équations u= &e=pit, on peut tirer 12 formules dont 3 regardent la force accélératrice ou centripéte , 3 la vîtesse , 3 autres l'espace , & les trois dernieres le temps. Examinons en jer lieu la bonté des, deux équations d'où dérivent ces 12 formules.

Et d'abord il est sûr que u= 24. En effec e = donc 2 é =ul; donc 2 e

-=u. Il n'est pas moins sûr que s = ptt; en voici la preuve. Lorsque la force centripére , ou la force accélératrice de deux corps est suppolée la même, l'on a E=TT,&e=tt; donc lorfque la force accélératrice varie , l'on aura E= PTT, &c=pit;

donc =p;& c'est là la premiere des 12 formules en question. La seconde formule est p =

; elle se trouve par le calcul suivant :

2. 를

P=
p=e divisé par

4ec

Ut

e

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4e

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tu

Z

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p= La troisieme formule p=

donne la quatrieme žpt=u. La cinquieme formnule est la premiere des deux équations fondamentales. La fixieme formule est tirée de la seconde. En effet

donc

4ep =UU, donc V 4ep=u, donc 40 2 Vep=u.

La septieme formule é = ut est donnée par la cinquieme u= 4. En effet fi u= h, donc ui=zes

=e, donc ue=e. La huitieme formule est la feconde des deux équations fondamentales. La neuvieme formule e est évidemment donnée

4P par la seconde p=

Il est encore évident que la dixieme formule 1 = 2. est donnée par la cinquieme u= La premiere formule donne la onzieme i

le calcul suivant :

donc

2

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uu

4 e

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1

P =

P

ple

u

11 u

Nu

donc'tt

47

2 p

corps ,

Enfin pour trouver la douzieme formule , voici comment a raiforné l'Abbé de la Caille, é=pre, par le huitieme formule ; mais, par la neuvieme formule, é u ; donc pil=

;

; donc i 4P

4 PP & voilà , M., les 12 formules tirées des deux équations & è = pili

Cuos Ce que dit l'Abbé de la Caille, dans les articles 114 & 115, sur les plans inclinés , n'a besoin d'aucune explication. Il n'en est pas ainsi de l'article 116; la démonstration en est très-obfcure ; tâchons de la rendre sensible , en nous servant de la figuré à laquelle 'cer åra ticle renvoie ; c'est la figure 6 de la planche 1.

Propofition. Si du point B on mene la perpendiculaire B K; AK serà l'espace parcouru par

le

С tandis que ce corps tomberoit librement de A en B.

Demonstration. A cause des angles droits en B & en K, & de l'angle commun A, les triangles A KB & ABD font équiangles ; l'on dira donc AK: AB :: AB : AD , mais ( 14 ) AB : AD :: la vîteste que le Corps C a acquise en descendant de A en D : à la víteffe que ce même corps auroit acquise en tombant librement dans ce tems-là ; donc AK : AB :: la vîtesse que le corps C a acquise en descendant de A en D: à la vîtesse que ce même corps auroit acquile en tombant librement dans ce tems-là ; done tout ce qu'on dic de A B & de AD, lorsque le corps C deicend de A en D, on le dira de AK & de AB, lorsque le corps ( ne descend que de A en K; donc A K mar

, quera la vitesse que le corps C a acquise en defcendant de A en K, & AB marquera la vitesse qu'il auroit acquise en tombant librement dans ce tems-là. Mais AK marque encore l'espace que le corps G a parcouru dans tel tems en defcendant de A en K; donc AB marquera l'espace qu'il auroit parcouru en combant librement pendant ce tems-là ; donc fi du polne B. on

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