exprimée par Gp; à la fin du quatrieme inftant repréfenté par GH, il ait une viteffe exprimée par Hg; à la fin du cinquieme inftant représenté par HA, il ait une vîteffe exprimée par AC; je dis que fi le corps B avoit eu au commencement de fon mouvement une vîteffe représentée par AC, & qu'il l'eût confervée pendant tout le tems qu'il s'eft mû, fans augmentation ou diminution quelconque, c'eft-à-dire, fi le corps B avoit eu au commencement du premier inftant une viteffe représentée par BD au commencement du fecond une vîteffe représentée par EI, au commencement du troifieme une vîteffe représentée par FK, au commencement du quatrieme une vîteffe repréfentée par GL, & au commencement du cinquieme une viteffe représentée par HM, je dis que le corps B auroit parcouru un efpace double de celui qu'il a parcouru. Demonftration. Dans le premier cas d'un mouvement uniformément accéléré, le corps B auroit parcouru l'aire du triangle BAC; dans le fecond cas d'un mouvement conftant & uniforme, il auroit parcouru l'aire du quadrilatere ABCD, double de l'aire du triangle BAC; donc fi le corps B avoit eu au commencement de fon mouvement une vîteffe égale à celle qu'il a eue à la fin, & s'il l'avoit confervée pendant tout le tems de fon mouvement fans augmentation ni diminution, il auroit parcouru un efpace double de celui qu'il a parcouru. ut 2 L'Abbé de la Caille a donc eu raifon d'avancer que puifque dans le mouvement conftant & uniforme la formule de l'espace parcouru eft eut, elle fera dans le mouvement uniformément accéléré e Il y a donc dans un corps qui tombe une vitesse acquife & une vitesse qui s'acquiert. Un degré de viteffe acquife fait parcourir au corps qui tombe un efpace double de l'efpace que fait parcourir au même corps un degré de la viteffe qui s'acquiert. Corollaire. L'accélération de la chûte des corps graves fe fait fuivant la progreffion arithmétique des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, &c. En effet fuppofons que le corps A defcende pendant trois inftants, en fuivant la ligne AB, Fig. 2 Pl. 6. Suppofons encore que pendant le premier inftant de fa chûte il ne parcoure que pied, je dis qu'il en parcourra 3 pendant le fecond inftant, & 5 pendant le troifieme. En effet, par hypothefe, le corps A pendant le premier instant de fa chûte ne parcourt qu'un pied en vertu d'un degré de viteffe qu'il acquiert peu-à-peu; donc au commencement du fecond inftant il aura 2 degrés de viteffe, l'un acquis & l'autre qu'il acquiert; le premier lui fera parcourir 2 pieds, & le fecond r; donc pendant le fecond inftant de fa chûte le corps A parcourra 3 pieds. Au commencement du troifieme inftant il aura 3 degrés de vîteffe, 2 acquis & 1 qu'il acquiert; ceux-là lui feront parcourir 4 pieds & celui-ci 1; donc pendant le troifieme inftant il parcourra 5 pieds; donc P'accélération &c. Cette démonftration eft dans le fond la même que celle de l'article 97 de la Mécanique de T'Abbé de la Caille. Celles des articles 98 & 99 fe préfentent d'elles-mêmes. On y avance que dans un mouvement uniformément accéléré, les efpaces parcourus depuis le commencement du mouvement jufqu'à la fin de chacun des intervalles égaux des tems, font entr'eux comme les quarrés des tems. L'on a raifon. En effet fuppofons que le corps A tombe pendant deux inftants de fuite, je dis que l'efpace parcouru pendant le premier instant fera à l'efpace parcouru pendant les deux premiers inftants, comme le quarré de 11, eft au quarré de 2 = 4, c'est-à-dire, je dis que l'efpace parcouru pendant le premier inftant fera quatre fois moindre que l'efpace parcouru pendant les deux premiers inftants. Démonftration. Les corps graves qui tombent librement fur la terre, doivent parcourir & parcourent en effet 15 pieds pendant la premiere feconde de tems 45 pieds pendant la feconde fuivante; donc l'efpace parcouru parcouru pendant le premier inftant eft à l'efpace parcouru pendant les deux premiers inftants, comme 15 eft à 60. Mais 15: 60: 1:4; donc les efpaces parcourus par les corps graves, à commencer du premier inftant de la chûte, répondent aux quarrés des tems employés à les parcourir donc l'Abbé de la Caille a eu raison d'avancer que dans les mouvements uniformément accélérés, l'on peut faire ett. Ce qu'il dit depuis l'article 100 jufqu'à l'article 112 inclufivement, fe comprend à la premiere lecture. Il n'en eft pas ainfi de l'article 113; il a befoin d'un ample commentaire; le voici. ; L'Abbé de la Caille avance dans cet article que des deux équations u == &e=ptt, on peut tirer 12 formules dont 3 regardent la force accélératrice ou centripéte, 3 la viteffe, 3 autres l'efpace, & les trois dernieres le temps. Examinons en 1er. lieu la bonté des deux équations d'où dérivent ces 12 formules. Et d'abord il est sûr que u== 2e donc 2eut; donc 2 =u. Il n'est pas moins sûr t que eptt; en voici la preuve. Lorfque la force centripéte, ou la force accélératrice de deux corps eft fuppofée la même, l'on a ETT, & ett; donc lorfque la force accélératrice varie, l'on aura EPTT, &e=ptt; donc p; & c'eft là la premiere des 12 e tt น tu La troifieme formule p= p== donne la quatrieme 2pt=u. La cinquieme formule eft la premiere des deux équations fondamentales. La fixieme formule eft tirée de la feconde. En effet นน donc donc V4epu, P = 4e 2 Vepu. 4epuu, donc La feptieme formule eut eft donnée par la cinquieme u = 2. En effet fi u = =2, donc ut=2ey 2e e La huitieme formule eft la feconde des deux équations fondamentales. La neuvieme formule e="" eft évidemment donnée นน 4P t Enfin pour trouver la douzieme formule, voici commenta raifonné l'Abbé de la Gaifle, épre, par la huitieme formule; mais, par la neuvieme formule, e = ; donc tr 4P 4P ; donc t 4PP 2p & voilà, M., les 12 formules tirées des deux équations dans les articles Ce que dit l'Abbé de la Caille 114 & 115, fur les plans inclinés, n'a befoin d'aucune explication. Il n'en eft pas ainfi de l'article 116; la démonftration en eft très-obfcure; tâchons de la rendre fenfible, en nous fervant de la figure à laquelle cet article renvoie; c'eft la figure 6 de la planche 1. Propofition. Si du point B on mene la perpendicu laire BK; AK ferà l'efpace parcouru par le corps C tandis que ce corps tomberoit librement de A en B. : Demonflration. A caufe des angles droits en B & en K, & de l'angle commun A, les triangles AKB & ABD font équiangles; l'on dira donc AK: AB:: AB AD; mais (114) AB AD: la viteffe que le Corps C a acquife en defcendant de A en D à la vi teffe que ce même corps auroit acquife en tombant librement dans ce tems-là; donc AK: AB la viteffe que le corps C a acquife en defcendant de A en D: à la viteffe que ce même corps auroit acquife en tombant librement dans ce tems-là; donc tout ce qu'on dit de AB & de AD, lorfque le corps C defcend de A en D, on le dira de AK & de AB, lorfque le corps C ne defcend que de A en K; donc AK marquera la víteffe que le corps C a acquife en defcendant de A en K, & AB marquera la viteffe qu'il auroit acquife en tombant librement dans ce tems-là. Mais AK marque encore l'efpace que le corps G a parcouru dans tel tems en defcendant de A en K; donc AB marquera l'efpace qu'il auroit parcouru en tombant librement pendant ce tems-là; donc fi du point Bon |