Duo corpora æqualia quæ moventur in circulis æqualibus cum inæquali velocitate, fuas habent vires centrifugas in ratione directa quadratorum velocitatum.

Explicatur. Sint duo corpora A & B perfectè æqualia. Moveantur hæc duo corpora in circulis perfectè æqualibus, alterum cum 1 gradu, alterum cum 2 gradibus velocitatis. Dico quòd vis centrifuga corporis A: ad vim centrifugam corporis B: 1: 4. Ut autem demonftretur

hæc affertio.

Præmitto 1°. Sit u velocitas corporis A, u2 quadratum hujus velocitatis, f vis centrifuga ejufdem corporis. Sit etiam V velocitas, V2 quadratum velocitatis, F vis centrifuga corporis B. Sit denique D diameter utriufque cir culi à corporibus A & B defcripti.

Præmitto 2°. In quolibet corpore circulum defcribente vis centrifuga æqualis eft vi centripetæ, ex affertione 4. Sed vis centripeta corporis circulum defcribentis æqualis eft quadrato velocitatis hujus corporis divifo per diametrum circuli defcripti, ex affertione ; ergo vis centrifuga corporis circulum defcribentis æqualis eft eidem quadrato divifo per eamdem diametrum; ergo f =

ม.

D

:

V V

D

น.

D

& F

uu: VV; ergo vis centrifuga corporis A: ad

vim centrifugam corporis B:: quadratum velocitatis corporis A: ad quadratum velocitatis corporis B.

Corollarium. Si corpus A & corpus B funt molis inxqualis, appellabitur m moles corporis A, & M moles corporis B. Habebitur ergo f="", & F= D numquam enim licet, ubi de viribus duorum corporum

MV V

D

agitur, à mole præcindere, nifi moles illorum fint æquales inter fe. Data fuiffet igitur proportio fequens,f: F:: :: muu: MV V. Ergo vires centrifugæ duo

muu MVV

Ꭰ

D

D

rum corporum inæqualium quæ moventur in circulis æqualibus cum inæquali velocitate funt in ratione composita molium & quadratorum velocitatum.

ASSERTIO VI.

Duo corpora æqualia quæ moventur in circulis inæqualibus cum æquali velocitate fuas habent vires centrifugas in ratione inverfa radiorum circulorum quos illa corpora defcribunt.

:

Explicatur. Sint molis æqualis corpus A & corpus B. Moveatur corpus A in circulo cujus radius fit 1 pedis, & corpus B in circulo cujus radius fit 2 pedum. Dico quòd vis centrifuga corporis A ad vim centrifugam corporis B:: radius circuli quem defcribit corpus B, nempè 2 ad radium circuli quem defcribit corpus A, nempè 1. Vocetur V velocitas corporum A & B, V2 quadratum hujus velocitatis, d diameter, r radius circuli à corpore A defcripti, D diameter, R radius circuli à corpore defcripti, f vis centrifuga corporis A, F vis centrifuga corporis B.

B

VV
d

&F=

V V

Ꭰ

D, ex affertio

VV

F

f

Ꭰ

=; ergo FD=fd; ergo f: F:: D: d::R : r i ergo vis centrifuga corporis A: ad vim centrifugam corporis B: radius circuli defcripti à corpore B : ad radium circuli defcripti à corpore A; ergo duo corpora æqualia quæ moventur in circulis inæqualibus cum æquali velocitate fuas habent vires centrifugas in ratione inverfa

radiorum circulorum

quos illa illa corpora defcribunt. At inquies. Quânam de caufâ in folutione fuperiori ex eo quòd f: F:: D: d, indè concluditur f: F:: R: 7? Refpondeo. Diametri duorum circulorum funt inter se ficut radii circulorum eorumdem; ergo D: d:: R: r. Sed f: F:: D:d, ex demonftratione fuperiori; ergo f:F :: R : r.

Eamdem propter caufam fi vis centrifuga corporis A comparetur cum vi centrifuga corporis B, eligi poterit alterutra ex duabus iftis proportionibus.

Ergo vires centrifugæ duorum corporum æqualium, circulariter girantium, funt inter fe ficut quadrata velocitatum divifa, aut per diametros refpectivas, aut per radios refpectivos circulorum defcriptorum.

Corollarium. Sit m moles corporis A, M moles corpo ris B, & cætera omnia remaneant ut in affertione fuperiori; habebitur f

m V. V

&F:

MV V

R

; ergof: F::

ergo Em

fM

R

ergo

FRm frM; ergo f: F:: RmrM; ergo vis centrifuga corporis A ad vim centrifugam corporis B:: radius circuli defcripti à corpore B multiplicatus per molem corporis A: ad radium circuli defcripti à corpore A multiplicatum per molem corporis B.

Duo corpora æqualia quæ moventur in circulis concentricis, & confequenter inæqualibus, fuam habent velocitatem in ratione inverfa radicum quadratarum radiorum quos illa corpora defcribunt.

Explicatur. Sint molis æqualis corpus A & corpus B.

:

Moveantur hæc duo corpora in duobus circulis concentricis, quorum minor, is nempe in quo movetur corpus A, radium 4 pedum habeat, & major, is fcilicet in quo girat corpus B, radium habeat 16 pedum. Dico quòd velocitas corporis A ad velocitatem corporis B: V16: V44 : 2. Vocetur u velocitas, p vis centripeta, & r radius circuli defcripti à corpore A, feu diftantia corporis hujus à centro fuo. Vocetur etiam V velocitas, P vis centripeta, & R radius circuli defcripti à corpore B, feu diftantia corporis hujus à centro fuo. Dico quòd habebitur u: V:: VR: Vr. Demonftratur. 1°. Vis centripeta p corporis A =

-r

item vis centripeta P corporis B =

affertionibus 1, 5 & 6.

I

V V

นน

d

20. Vires centripeta, feu gravitates corporum A & B funt in ratione inversâ quadratorum diftantiarum à centro,

VV

r R

ex fecunda lege attractionis ; ergo : : : R2 : 72 ; nam in cafu præfenti diftantiæ repræfentantur per radios

V VR R
R

uurr
r

; ergo V VR uur;

circulorum; ergo ergo uu: VV: R: r; ergo u: V:: VR: Vr; ergo velocitas corporis A: ad velocitatem corporis B: radix quadrata radii circuli in quo movetur corpus B, nempè 4: ad radicem quadratam radii circuli in quo movetur corpus A nempè 2; ergo duo corpora æqualia quæ moventur in circulis concentricis, fuas habent velocitates in ratione inversa radicum quadratarum radiorum circulorum quos hæc corpora defcribunt.

CAPUT VIII.

De Motu elliptice.

Llipfis Am HM, fig. 14. tab. 7,

fuum habet centrum in puncto p; fuos focos in punctis F, f; fuum axim majorem in linea AH; fuum axim minorem in linea M m.

O iij

2o. Duæ lineæ FM, ƒM, ductæ à focis F, ƒ að idem punctum M circumferentiæ Am HM, funt duæ lineæ quæ, fimul fumptæ, æquales funt axi majori AH; ideòque Ellipfis rectè definitur à Geometris figura cujus fingula circumferentiæ puncta fic diftant à focis, ut ambæ diftantiæ FM, fM, fimul fumptæ, femper & neceffariò æquales fint toti axi majori AH.

3. A X erit parameter majoris axis AH, dummodò illi perpendicularis fit, atque inftitui poffit proportio fequens, major axis A H: ad minorem axim M m :: minor axis Mm ad parametrum AX; ergo parameter majoris axis ellipfis cujufcumque eft linea perpendicularis eidem axi, æqualis quadrato minoris axis divifo per majorem

axim.

4°. Linea DC est linea ordinata majori axi AH; lineæ verò AD & DH funt lineæ abfciffæ ex eodem axi majori.

5. Linea Fp eft linea defignans excentricitatem ellipfis Am HM, feu linea defignans diftantiam centri figuræ p à centro virium F.

6. Planeta A defcribens circumferentiam ellipticam Am HM eft in aphelio fuo, feu in maxima fua diftantia à fole pofito in puncto F, cùm reperitur in puncto A: hic idem planeta pofitus in puncto H eft in perihelio fuo; tunc enim eft in minima fua à fole diftantia.

7°. Lineæ AF, CF, HF, FI funt totidem radii vectores Planetæ A, & confequenter funt totidem lineæ directionis vis centripetæ ejufdem planeta. Lineæ AX, Ce, Hh, Ii funt totidem linee directionis vis tangentialis; quæ lineæ efformant cum radiis vectoribus anguJum nunc rectum nunc acutum nunc obtufum, ut videbimus inferiùs.

Hinc fequitur in ellipfi, ficut & in circulo tres effe vires accuratè diftinguendas, fcilicet vim projectionis, vím centripetam & vim centrifugam. De tribus iftis viribus agemus in hoc capite totidem diftinctis propofitionibus, poftquam lemmata duo præmiferimus.