LEMMA I.

Linea curva non circularis defcribi poteft per varios motus, quorum unus fit paracentricus, alii verò circulares. Explicatur. Motus paracentricus eft motus qui fit juxta radium vectorem, five corpus quod donatur tali motu, accedat ad centrum, five recedat à centro virium. Sit res in exemplo. Manu teneo virgam ferream AC, fig. 13. tab. 7. Ità apto virge huic ferree annulum A, ut continuò impulfus à gravitate fua, inftanti quolibet accedat ad punctum C. Jam verò fuppono quòd virge AC motum circularem imprimam; dico quòd annulus A lineam curvam non circularem defcribet per varios motus quorum unus erit paracentricus, & alii circulares.

Demonftratur. Annulus A inftanti primo donatus motu circulari per lineam AE, & motu paracentrico per lineam. EB, defcribit arcum non circularem AB.

Item annulus A inftanti fecundo donatus motu circulari per lineam BF, & motu paracentrico per lineam FD defcribit arcum non circularem BD; ergo linea curva non circularis A B D defcripta fuit per varios motus, quorum unus fuit paracentricus, alii verò circulares; ergo in gepere linea curva non circularis defcribi poteft per varios motus quorum unus fit paracentricus & alii circulares.

LEMMA I I.

Velocitates circulares AE, BF funt in ratione inverfa radiorum vectorum lineæ curvæ ABD.

Explicatur. Velocitas circularis AE: ad velocitatem circularem BF:: radius vector CD: ad radium vectorem CB. Quod ut demonftretur.

Præmitto 10. Linea CB eft bafis trianguli ABC, & linea CD bafis trianguli BDC.

2o. Arcus circulares AE, BF defcripti temporibus infinitè parvis, funt infinitè parvi, ac proindè fpectari poffunt tanquam lineæ recte.

3°. Arcus infinitè parvus A E fpectatus tanquam linea recta, erit perpendicularis bafi CB productæ in punctum E, ac proindè repræfentabit altitudinem trianguli ABC. Eamdem propter caufam arcus infinitè parvus BF repræfentabit altitudinem trianguli BDC. His præmiffis.

Demonftratur. 1o. Ex prima lege Kepleri, Annulus A, percurrendo lineam curvam ABD, defcribit areas temporibus proportionales; ergo area trianguli A BC æqualis eft are trianguli BDC; temporibus enim æqualibus percurruntur arcus A B & arcus BD.

2o. Arex triangulorum ABC & BDC æquales effe non poffunt, quin hæc duo triangula bafes fuas habeant in ratione inverfa fuarum altitudinum. Habetur ergo proportio fequens; linea A E repræfentans altitudinem trianguli ABC ad lineam BF repræfentantem altitudinem trianguli BDC: bafis CD trianguli BDC: ad bafim CB trianguli ABC.

3o. Lineæ AE & BF funt velocitates circulares de quibus agitur; bafes CD & CB funt duo radii vectores lineæ curva ABD; ergo velocitates circulares A E, BF funt in ratione inverfa radiorum vectorum lineæ curvæ ABD.

Corollarium. Jure igitur concipere poffumus lineam quamcumque ellipticam tanquam defcriptam per varios motus, quorum unus fit paracentricus, alii verò circulares in ratione inverfa radiorum vectorum.

PROPOSITIO I.

Corpus quodcumque defcribens ellipfim, donatur minori vi projectionis, quàm fi defcripfiffet circulum cujus radius æqualis fuiffet diftantiæ aphelii ellipfis ejufdem à foco.

Explicatur. Sit corpus A, fig. 15. tab. 7, defcribens ellipfim ABCD per duas vires, quarum altera projectionis dirigatur juxtà lineam AH, & altera centripeta tendat in focum F; dico quòd corpus A donatur minori vi projectionis, quàm fi defcripfiffet circulum AMRN, cujus radius fuiffet AF, nempe diftantia aphelii A ex

foco F, in quo conftitutum fupponitur centrum virium. Demonftratur. Ellipfis ABCD eft magis curva, quàm circulus AMRN, cujus radius eft linea AF, nempe diftantia aphelii A ex foco F; ergo ellipfis ABCD continet minorem vim projectionis, quàm circulus AMRN; ergo corpus quodcumque defcribens ellipfim donatur minori vi projectionis, quàm fi defcripfiffet circulum cujus radius æqualis fuiffet diftantiæ aphelii ellipfis ejufdem à foco.

Contrariam propter caufam affirmabitur quòd corpus defcribens ellipfim, donatur majori vi projectionis, quàm fi defcripfiffet circulum cujus radius æqualis fuiffet diftantiæ perihelii ellipfis ejufdem à foco. Et verò ellipfis CBAD eft minus curva, quàm circulus IKTV; ergo ellipfis CBAD continet majorem vim projectionis, quàm circulus IKTV. Sed radius circuli IKTV eft, linea CF, nempe diftantia perihelii C ex foco F; ergo corpus quodcumque defcribens ellipfim, donatur majori vi projectionis, quàm fi defcripfiffet circulum cujus radius æqualis fuiffet diftantiæ perihelii ellipfis ejufdem à foco.

At inquies. Demonftratum fuit in corollario 2 affertionis 2 cap. 7 vim projectionis corporis A defcribentis circulum AMRN effe fenfibiliter æqualem velocitati quam acquifiviffet idem corpus liberè cadens, atque motu uniformiter accelerato percurrens mediam partem radii A F. Jam verò quæritur utrum determinari poffit vis projectionis quam accepit idem corpus A defcribens ellipfim ABCD.

Refp. Vis projectionis quam accepit corpus A defcribens ellipfim ABCD eft fenfibiliter æqualis velocitati quam acquifiviffet idem corpus liberè cadens, atque motu unifor. miter accelerato percurrens mediam partem femi-axis majoris AO. Et verò fi corpus donatum vi projectionis quam mox determinavimus, gravitaffet in punctum O, circulum evidenter defcripfiffet cujus radius fuiffet linea AO; ergo fi corpus A, hanc eamdem vim projectionis retinens, gravitat in punctum F, defcribere debet ellipfim ABCD; in hoc enim præcipuè differt ellipfis ABCD à circulo cujus radius fuiffet linea AO, quòd in illo circulo centrum gra

vitationis corporis A fit centrum figuræ O, & in ellipfi ABCD centrum gravitationis corporis A reperiatur extrà centrum figuræ O, nempè in puncto F.

Dices iterum. Quofnam angulos efformant in ellipfi directio vis tangentialis & directio vis centripeta?

Refp. 1°. In Ellipfi directio vis tangentialis & directio vis centripetæ efformant angulum rectum in aphelio A, fig. 14. tab. 7. Et verò in aphelio A directio vis tangentialis eft parameter AX, & directio vis centripetæ eft pars AF majoris axis A H. Sed parameter A X, & pars AF majoris axis AH angulum rectum efformant. Ergo in Aphelio A directio vis tangentialis & directio vis centripetæ efformant angulum rectum.

Eodem prorsùs modo demonftrabitur quòd in perihelio Hvis tangentialis per lineam Hh directa, & vis centripeta directa per lineam HF angulum rectum iterùm efforment.

2o. Ex aphelio A in perihelium H directio vis tangentialis & directio vis centripeta angulos acutos efformant; quod fic demonftro. Si Planeta A, in puncto A pofitus, circulum defcriberet cujus centrum reperiretur in puncto F, vis centripeta Planetæ hujus ita ageret, inftanti fecundo in vim tangentialem, ut directiones duarum illarum virium efformarent angulum rectum, ut demonftravimus in affertione 3 capitis præcedentis. Quo fuppofito, fic ratiocinor.

Vis centripeta planeta A defcribentis ellipfim Am HM validiùs agit in puncto C in vim tangentialem ejufdem planetæ, feu magis inflectit in puncto Clineam directionis Cc, quàm inflecteret, fi defcriberetur circulus cujus centrum reperiretur in foco F; nam planeta A defcribens ellipfim Am HM donatur minori vi projectionis, quàm fi defcriberet circulum cujus radius effet linea AF, ut modò demonftrabamus. Sed vis centripeta planetæ A non poteft magis inflectere in puncto Clineam directionis Cc, quàm inflecteret, fi defcriberetur circulus cujus centrum reperiretur in foco F quin linea CF & linea Cc efforment angulum acutum ; ergo in puncto C linea CF & linea Ccefformant angulum acutum. Prob. min. In hypothefi circuli cum radio AF per planetam

A defcripti, vis centripeta planetæ hujus ita inflecteret in puncto C vim tangentialem, ut linea CF & linea Ce efformarent angulum rectum; ergo vis centripeta planeta A non poteft magis inflectere in puncto C lineam directionis Cc, quàm inflecteret, fi defcriberetur circulus cujus centrum reperiretur in foco F, quin linea CF & linea Ce efforment angulum acutum. Eodem prorsùs modo demonftrabitur quòd in omnibus punctis inter aphelium A & perihelium H conftitutis, linea directionis vis centripetæ & linea directionis vis tangentialis efformant angulos acutos.

3o. Ex Perihelio H in aphelium A directio vis tangentialis & directio vis centripete angulos obtufos efformant. Id autem facilè demonftrabitur, fi attendatur ad principium fequens; Planeta A, in perihelio H conftitutus, majorem habet vim projectionis, quàm fi defcriberet circulum cujus radius effet linea HF, ut modò demonstrabamus; ergo vis centripeta planeta A, ex perihelio H in aphelium A afcendentis, debiliùs agere debet in vim tangentialem, quàm fi describeretur circulus cum radio H F. Sed in hypothefi circuli cum radio H F defcripti, vis centripeta planetæ A, ex puncto H in punctum A afcendentis, inflecte ret ad angulum rectum directionem vis tangentialis; ergo in hypothefi ellipfis AmHM per planetam A defcriptæ, hæc eadem vis centripeta inflectere debet ad angulum obtufum directionem ejufdem vis tangentialis; ergo in puncto I, v. g., angulus efformatus per lineam IF & per lineam Ii eft angulus obtufus; ergo in omnibus punctis inter perihelium H & aphelium A conftitutis, obtufi funt omnes anguli quos efformant lineæ directionis vis centripeta, & linea directionis vis tangentialis.

Vis centripeta corporis cujufcumque circumferentiam ellipticam defcribentis, eft in ratione inverfa quadratorum diftantiarum à centro virium.

Demonftratur. Vis centripeta corporis circumferentiam ellipticam defcribentis nihil eft aliud quàm vis gravitatis ;