perpendiculaire tirée de C fur F K; ce cas eft affez rare, pour que notre Auteur en démontrât la réalité par une figure particuliere; on ne doit jamais préfenter comme un principe, ce que les gens du métier ne faififfent pas à la premiere lecture. M. l'Abbé de la Caille dit enfuite que quand GC eft égale à la perpendiculaire tirée de C fur FK, alors les deux corps dont il s'agit ne fe peuvent toucher qu'une fois. Je comprends bien comment les deux corps ne le touchent qu'une fois, lorfque GC eft confondue avec la perpendiculaire tirée de C fur F K; mais je ne comprends pas comment GC peut devenir égale à cette perpendiculaire. Contentons-nous donc de démontrer que lorfque la perpendiculaire tirée de C fur F K eft égale la fomme des demi-diametres des deux corps donnés, ces deux corps ne peuvent fe toucher qu'une fois.

Soit A C la direction du corps A, fig. 5. pl. 6, & fa vîteffea; foit B C la direction du corps B & fa vîteffeb. Soit B C la diagonale du quarré parfait ABCF; le point K le milieu de cette diagonale; & fuppofons que ab::AC: BK.

Suppofons encore que CK eft égale à la fomme des demi-diametres des deux corps A & B. Tirons enfin du point F la ligne F K qui fera néceffairement perpendiculaire fur la diagonale BC; je dis que les points K & C feront les lieux des centres des corps donnés, à l'inftant de leur contact..

Démonftration. L'on a par fuppofition, ab:: AC: BK; donc le centre du corps B fera au point K, lorfque celui du corps A eft au point C. Mais le centre du corps B ne peut pas être au point K, lorfque celui du corps A eft au point C, fans que ces deux corps fe touchent, puifque C K eft égale à la fomme des demi-diametres des deux corps donnés; donc les points K & C feront les lieux des centres des corps donnés, à l'instant de leur contact.

Que les deux corps donnés ne fe touchent qu'une feule fois, cela eft évident à l'inspection feule de la figure.

Il n'eft en effet que les points K & C où les corps A & B foient éloignés précifément de la longueur de leurs demi-diametres, dans le tems que l'un va de A en C, & l'autre de B en K. Le refte de l'article 182 ne demande aucun éclairciffement particulier.

L'article 188 ne préfente aucune difficulté réelle. On tire des deux regles ordinaires du mouvement le même réfultat que celui que donnent les deux formules de M. l'Abbé de la Caille. En effet, fi les corps Q & K, Fig. 16 Pl. 2 étoient fimplement durs ils iroient après le choc vers le point L avec la vîteffe commune MV -mu 23 =2, 3; donc le corps choquant Q a

M+ m

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perdu par le choc 2, 7 de vîteffe; donc, en reprenant fa figure, il reprendra 2, 7 de vîtesse pour revenir vers le point G; donc il tendra à revenir vers le point G avec 4 de vîteffe, parce qu'il a en même-tems 2, 3 de vîteffe pour avancer, & 2, 7 de viîteffe pour reculer.

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Pour le corps K qui a déja 2, 3 de vîteffe pour avancer vers le point L, il est en même-tems corps choqué & corps choquant. Comme corps choqué, il acquiert encore, en reprenant fa figure, 2, 3 de vîteffe pour avancer; donc, comme corps choqué, il iroit vers le point L avec 4, 6 de vîteffe. Mais le corps K est encore corps choquant, & comme tel, il reprend pour rejaillir vers le point L les 4 degrés de vîteffe qu'il avoit avant le choc pour aller vers le point G; donc le corps K, confidéré fous tous fes rapports, tendra vers le point L avec 8, 6 de vîteffe.

en

Pour l'intelligence de l'article 189, il faut fe rappeller que, prendre négativement une formule algébrique, c'eft en changer les fignes en- & les fignes +. Or la valeur de QP doit être prife négativement dans le cas dont il s'agit, parce que le corps Q tend à revenir vers le point G avec de viteffe. Il faut encore

10

fe rappeller que

-MVmV + 2 m u + 2 MV + Mu- m B

M+ m

= Vu. En effet l'on a, en ôtant les quantités qui fe Or cette derniere

détruifent,

MVmV + Mu+mu

M+ m

fraction est évidemment égale à Vu, puifque V + u eft le quotient exact de M V + mV + Mu + mu divifé par M + m; donc

MVm V + 2 m u + 2 M V + Mu

M+m

= V + u.

L'article 194 qui paroît d'abord de très-peu de conféquence, eft cependant celui que je crois devoir commenter avec le plus de foin. M. l'Abbé de la Caille y définit ce que c'eft que toucher une bille pleine: c'est, dit-il, la toucher enforte que la ligne qui joint les centres dans le choc, foit dans la direction de la bille touchante. Il ajoute enfuite qu'une bille qui touche pleine une autre bille en repos, doit s'arrêter auffi-tôt. Il auroit dû faire remarquer que ce cas ne peut avoir lieu, s'il eft vrai qu'il ait jamais lieu, que lorfque les masses des deux billes font géométriquement égales. Mais cette omiffion n'eft pas ce qu'il y a de plus répréhenfible dans cet article. Pour que la bille qui choque, s'arrêtât auffi-tôt, il faudroit que dans le choc l'applatiffement des deux billes fût très-considérable, comme vous l'avez remarqué dans votre derniere lettre. Or M. l'Abbé de la Caille fuppofe, quelques lignes auparavant, que l'applatiffement des billes eft une quantité infiniment petite; comment un pareil applatiffement peut-il produire le repos dans la bille touchante ?

D'ailleurs la regle qui dit que fi un corps élastique choque un autre corps élastique, égal en maffe & en repos, le corps choquant refte en repos après le choc cette regle, dis-je, eft bien vraie; mais elle fuppofe que le corps choquant n'a qu'un mouvement fimple direct, tel qu'eft le mouvement que les joueurs communiquent à leur boule, lorfqu'ils veulent, comme l'on dit, tirer en place ; & la bille dont il s'agit ici, a un mouvement très

compofé, ou pour parler plus exactement, deux mouvements, l'un en ligne droite, & l'autre de rotation fur elle-même. Je ne crois pas donc qu'une bille qui, en roulant fur le tapis, touche pleine une autre bille, doive s'arrêter auffi-tôt, lors même que les deux billes font géométriquement égales.

L'article 198 ne doit pas être adopté purement & fimplement. En effet fi l'article 194 contient une fauffeté il n'eft pas vrai qu'après le choc la bille B, fig. 22. pl. 2, parcoure la ligne EG, parce que par le choc cette bille n'a pas perdu tout fon mouvemenc repréfenté par E O; mais l'article 194 contient une faufferé; donc après le choc la bille B ne doit pas parcourir la ligne E G.

La même faute fe trouve aux articles 199 & 200. Après le choc la bille F de la figure 22 gravée pour ces deux articles, ne devroit pas fuivre la ligne PQ, parce que par le choc cette bille n'a pas perdu tout fon mouvement MP.

Voilà, Monfieur, des réflexions qu'il n'étoit pas bien néceffaire de vous communiquer. Je fuis convaincu que vous les aurez faites vous-même, fi vous avez lu le chapitre du choc oblique, avant la réception de cette lettre. Elles fe préfentent comme d'elles-mêmes à tout homme qui fait les premiers éléments des Mathématiques; & je ne fais comment elles ont échappé à un mathématicien auffi célebre que M. l'Abbé de la Caille. Cela n'empêche pas cependant que fon Traité de Mécanique ne foit un très-bon ouvrage. Vous ferez très-content de ce qu'il a écrit fur les machines. Je vous confeille d'en commencer l'examen le plutôt qu'il vous fera poffible. Je fuis, &c.

LETTRE SIXIE ME.

Contenant des réflexions fur les articles 212, 213, 217 & 220.

J

E n'ai encore lu de la feconde fection, Monfieur

que ce que notre Auteur a écrit fur les machines confidérées en général; je ne crois pas qu'il foit poffible de dire plus de chofes en moins de mots que lui. Il me paroît cependant que je n'aurai pas grand befoin de votre fecours pour le fuivre pas à pas; j'ai affez préfents à l'efprit fes éléments de géométrie & d'algébre, pour comprendre les articles 212, 213, 217 & 220, qui feroient les feuls capables d'arrêter un commençant. Qui ne fait pas, par exemple, qu'un angle aigu ayant le même finus droit que l'angle obtus qui lui fert de fupplément à deux angles droits, l'angle aigu BDC de la figure relative à l'article 212, doit avoir le même finus droit que l'angle obtus DCA? Il en eft de même du finus de l'angle aigu BAC; il n'eft pas différent de celui de l'angle obtus DCA, dont il eft parlé dans le même article. Qui ne fait pas encore que l'angle PCA des figures indiquées à l'article 213, étant égal à fon alterne BAC, ces deux angles doivent avoir le même finus droit ? Qui ne fait pas enfin qu'on ne peut pas avoir MVmu, fans avoir M:m::u: V, où fans avoir les maffes réciproquement comme leurs viteffes, c'eft-à-dire, que la démonftration de l'article 217 fe trouve à l'article 218?

Pour ce qui regarde l'examen que fait M. l'Abbé de la Caille depuis l'article 219 jufqu'à l'article 225, de l'effet qu'on peut attendre des machines, il ne préfente aucune difficulté à quiconque fait manier l'équation ME =me, c'est-à-dire, à quiconque fait qu'on peut tirer de cette équation les formules fuivantes :