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Dm

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équation, l'on trouvera E:e?:09:PQ; donc l'Abbé de la Caille a eu raison d'avancer , à l'article 20 , que li

deux effets E, e font produits par deux causes hétéro. i genes P-& Qip & q, qui, en augmentant , contribuent

à diminuer leur effet ; l'on aura la proportion suivante E:

:e::89: P Q, c'est-à-dire , les effets seront en raifon composée inverse de leurs causes ; & voilà 'ma réponse de la premiere question que vous m'avez faite. Il ne me feta pas fi aisé de répondre à votre seconde question. Pour le faire avec toute l'étendue que 'vous fouhaitez , je luppose les corps A & 4. Je nomme D la densité du

premier , M fa masse , Sfon volumes la, denfité du second fera donc d, m la masse, s son volume. Je preis enfuite les deux équations D=5,

M, d="; & pour en ti

،، rer tout le parti pollible par rapport aux densités , aux malses & aux volumes de ces corps , j'en forme la proportion fuivante D:d!! donc ; donc Dm Sa

S: dMs. Cela supposé., voici comment je raisonnen

DmS=dM's ; donc fi l'on suppose Ș=s, l'on aura Dm=dM. Mais si cette derniere équation est vraie , l'on

en la décomposant , D:d::.M:m; donc deux corps qui ont même volume , ont leurs densités comme leurs masses, ou leur quantité de matiere propre.

DmS=dMs; donc si l'on suppose M=m, l'on aura DS=ds. Mais fi DS=ds, l'on aura , par la décomposition, D:2:15:5; donc deux corps qui ont même maffe, ont leurs densités en raison inverse de leurs voluines.

DmS=dMs; donc fi D=d, l'on aura mS=Ms, ou M:m::S::8; donc deux corps qui ont la même densựgé, ont leurs masses en raison directe de leurs volumes.

DmS=dMs; donc Sis::dM : Dm; mais dM: Dm dM Din

Da Da » parce que fi l'on divise deux grandeurs par une troisieme , les dividendes, font etreux comme les quosiensi li lon divise , par exemple , 49 & 20 par 10

, Mon

aura,

20

; donc dM:Dm :: D d

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M"

la Caille assure

40 pourra

dire
40:20::

10 Dm d M Dm M

Mais
d " Dā. Da :: 0 :: donc dM:Dm : :

Da

M Mais d M :Dm::$:s; donc S :$

; donc les

D а volumes de deux corps quelconques sont entr'eux, comme leurs masses divisées par leurs densités; donc il est vrai qu'en maniant fuivant les regles, ordinaires non pas la M

M seule équation D= mais les deux équations D= S'

=> &d=, l'on trouvera facilement tous les rapports des densités, des masses & des volumes.

Il me reste, M., à vous parler de l'objection que vous -avez faite contre l'article 29, dans lequel M. l'Abbé de Votre objection est insoluble, & la Proposition de Newton

passera pour un axiome, que lorfqu'on dira que la Réac-. tion est égale à l'action détruite. Un cheval, par exemple, qui a 200 de force, tiré une pierre qui a 100 de résistance; mais comment la tire-t-il ? avec 1oo de force seulement ; donc l'Action détruite est 100. Mais la Réaction de la pierre

est 100; donc la Réaction est toujours égale à l'Action detruite. Voyez cette matiere traitée plus au long dans notre

Traité de paix entre Descartes & Newton , tom. 2. pag. 260 & suiv. J'ai l'honneur d'être &c.

ņe

LETTRE SECONDE. Remarques sur les trois premiers corollaires du théorême,

de l'article 44: Nécelfité d'un commentaire pour le com

rollaire 4 du même theorême. h CE

E que vous m'avez écrit , M., sur la densité des

corps, a été pour moi une espece de formule par le moyen de laquelle j'ai compris lans peine que les vir

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E

; donc

Ve

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1

tesles font en terms égaux comme les espaces parcourus pendanc
ces tems, & que les vitesses employées à parcourir des espaces
égaux , sont réciproquement comme les tems. Ce sont là, vous
le savez, les deux premiers corollaires que tire l'Abbé de la
Caille du théorême 1 du chapitre où il traite du mouve-
ment rectiligne réel, simple & uniforme. Supposons en
effet les deux corps A & a. Nommons la vitesse du pre-
mier V , l'espace qu'il parcourt E, le tems qu'il emploie
à le parcourir-T; nous nommerons par-là même u, e, e la
vitesse , l'espace & le tems qui ont rapport au corps a.
Cela fait, prenons les deux équations V=1,
nous aurons la proportion suivante V:u:: T:7

donc VeT=uEt. Cela supposé, voici com

T
ment j'ai raisonné.

VeT=uEt; donc si T=t, l'on aura Ve=uE ou , ce qui revient au même V:u::E:e; 'donc deux corps qui parcourent en tems égaux des espaces inégaux, ont leurs vîtesses comme les espaces parcourus.

VéT=uEt; donc fie=E, l'on aura VT=ut ou , V:u::t:T; donc deux corps qui parcourent en tems inégaux des espaces égaux , ont leurs vîteffes en raison inverse des tems.

Le corollaire 3. fe comprend à la premiere lecture. Il n'en est pas ainsi du quatrieme ; j'ai befoin de votre secours pour le comprendre. Cette difficulté m'a empê'ché de passer au théorême second. Je vous prie de m'envoyer le commentaire de ce corollaire , & d'y ajouter les éclaircissements des points qui pourroient m'arrêter encore dans la lecture de ce chapitre. Vous obligerez celui qui sera toute fa vie avec la reconnoissance la plus parfaite &c.

Facy

V

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e

PONSE. Contenant des éclaircissements pour le corollaire

4.

de l'article 44, pour les articles 32, 33, 38,60 6 2. Ous voulez donc que je vous démontre'; M., que

les vitesses de deux corps qui parcourent des espaces qui font entr'eux réciproquement comme les tems , sont entr'elles , ou directement comme les quarrés de ces espaces , ou réciproquement comme les quarrés des tems. Pour en venir à bout, je me fers pour les vitesses , les espaces & les tems qui ont rapport aux corps A &a, des mêmes lettres, dont vous vous êtes fervi yous-même. Voici donc comment je procéde.

1°: Par hypothese , les tems sont en raison inverse des espaces ; donc T:1

; donc je pourrai substituer & à T&c. ...2°, V:u::i:; donc V: 4 :: E divilé par divisé par-. Mais E divisé par ]

ÉE ; de même e diyisé par ==ce; donc V :u ::EE:ee ; donc les vitesses de deux corps qui parcourent des efpaces qui font entr'eux réciproquement comme les tems, 1ont entr'elles directement comme les quarrés de ces efpaces. Elles sont encore entr'elles réciproquement comme les quarrés des tems.

3°. Par hypothese , les espaces font en raison inverse des tems ; donc E:e: ;

T

donc je pourrai substituer & à E &e. 4o. V:u::

T

i donc , en faisant la substitution

E

E

I

EE

I

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E

e

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E

dont je viens de parler , j'aurai V:u::TT:

; donc les vîtesses de deux corps qui parcourent des espaces qui font entr'eux réciproquement comme les tems, font entr'elles réciproquement comme les quarrés des tems. Voilà , M., ma réponfe au premier article de votre lectre. Pour répondre au second d'une maniere qui vous satisfasse, je vous envoie le commentaire des articles 52, 53, 58, 60 & 62 ; ce sont les seuls qui soient capables de vous arrêter dans l'étude de la Mécanique.

Pour faisir l'article 52 , il faut se rappeller que si V=1 ,&u= ; donc E=VT, &e=ut; donç E:e::VT:ut; donc les espaces parcourus font en raifon composée des vitesses & des tems. fuppofons maintenant des espaces parcourus en des tems proportionnels aux vítesses , c'est-à-dire , fupposons que V :u:: T:+; je pourrai substituer la raison de V à u à celle de Tà 1; donc si E:e::VT:ut, l'on aura par substitution E:e::VV:uu. Je substituerai de même la raison de Tài à celle de Vàu; donc si E:e:: VT:ut, l'on aura E:e::TT:11; donc les espaces parcourus en des tems proportionnels aux vîtesses, font entr'eux comme les. quarrés des vitesses , ou comme les quarrés des tems.

E:e::VT:ue; donc en supposant T:1:: l'on aura E:e:: ✓ , ou :: 1:1; les espaces parcourus en des tem réciproquement proportionnels aux vîteffes, font égaux entr'eux , & c'est-là le commentaire de l'article 33.

V=i&u= ; donc VT=E & ue=e; donc T=&e= ; donc T:1::

Supposons maintenant que E:

c'est-à-dire , supposons que les espaces parcourus font en raison inyerse des vîtesses , l'on

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V

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