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equation, l'on trouvera E:e: pq: PQ; donc l'Abbé de la Caille a eu raifon d'avancer, à l'article 20, que fi deux effets E, e font produits par deux caufes hétéro genes P&Q, p & q, qui, en augmentant, contribuent à diminuer leur effet; l'on aura la proportion, fuivante Eepq: PQ, c'eft-à-dire, les effets feront en raifon compofee inverfe de leurs caufes; & voilà ma réponse à la premiere queftion que vous m'avez faite. Il ne me fera pas fi aifé de répondre à votre feconde queftion. Pour le faire avec toute l'étendue que vous fouhaitez, je fuppofe les corps A & a. Je nomme D la denfité du premier, M fa maffe, S fon volumes la denfité du fecond fera donc d, m fa maffe, s fon volume. Je prens enfuite les deux équations D d; & pour en tirer tout le parti poffible par rapport aux denfités, aux malfes & aux volumes de ces corps, j'en forme la proportion

داست

fuivante D: d, donc

S

M

S

Dm d.M

S

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; donc Dm S Ms. Cela fuppofé, voici comment je raifonne. DmSdMs; donc fi l'on fuppofe Ss, l'on aura DmdM. Mais fi cette derniere équation eft vraie, l'on aura, en la décomposant Dd: M:m, donc deux corps qui ont même volume, ont leurs denfités comme leurs maffes, ou leur quantité de matiere propre.

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DmSdMs; donc fi l'on fuppofe Mm, l'on aura DS ds. Mais fi DS-ds, l'on aura, par la décompofition, D::S; donc deux corps qui ont même maffe, ont leurs denfités en raifon inverfe de leurs volumes.

DmSdM's; donc fi Dd, l'on aura mSMs, ou M: m :: S: s; donc deux corps qui ont la même denfité, ont leurs maffes en raifon directe de leurs volumes. DmSdMs; donc Ss::dM: Dm; mais dM: Dm

d M

Dm

2007

Da Dd parce que fi l'on divife deux grandeurs par une troifieme, les dividendes, font entr'eux comme les quoriensi fi l'on divise, par exemple, 49 & 29 par 10, l'on

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A

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M m

Mais dM: Dm:: S:s; donc S: s:: :

Dd

;

d M

Dd Mm

Ded

donc les

volumes de deux corps quelconques font entr'eux, comme leurs maffes divifées par leurs denfités; donc il est vrai qu'en maniant fuivant les regles ordinaires non pas la feule équation D, mais les deux équations D=

M

M

S

&d=, l'on trouvera facilement tous les rapports des denfités, des maffes & des volumes.

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Il me refte, M., à vous parler de l'objection que vous avez faite contre l'article 29, dans lequel M. l'Abbé de la Caille affure que la Réaction est toujours égale à l'Action. Votre objection est insoluble, & la Propofition de Newton ne paffera pour un axiome, que lorfqu'on dira que la Réaction est égale à l'Action détruite. Un cheval, par exemple, qui a 200 de force, tire une pierre qui a 100 de résistance; mais comment la tire-t-il ? avec 100 de force feulement; donc l'Action detruite eft 100. Mais la Réaction de la pierre eft 100; donc la Reaction est toujours égale à l'Action détruite. Voyez cette matiere traitée plus au long dans notre Traité de paix entre Defcartes & Newton, tom. 2. pag. 260 & fuiv. J'ai l'honneur d'être &c..

LETTRE

SECOND E.

Remarques fur les trois premiers corollaires du théorême. de l'article 44. Neceffité d'un commentaire pour le corollaire 4 du même théorême. b

ས།

C

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E que vous m'avez écrit, M., fur la denfité des corps, a été pour moi une efpece de formule par le moyen de laquelle j'ai compris fans peine que les vi

I

teffes font en tems égaux comme les efpaces parcourus pendant ces tems, & que les viteffes employées à parcourir des efpaces égaux, font réciproquement comme les tems. Ce font là, vous le favez, les deux premiers corollaires que tire l'Abbé de la Caille du théorême 1 du chapitre où il traite du mouvement rectiligne réel, fimple & uniforme. Suppofons en effet les deux corps A & a. Nommons la vîteffe du premier V, l'efpace qu'il parcourt E, le tems qu'il emploie à le parcourir T; nous nommerons par-là même u, e, tla viteffe, l'efpace & le tems qui ont rapport au corps a. Cela fait, prenons les deux équations V =

E

u T

E

T

nous aurons la proportion fuivante V : u :: ; donc Ve u E

T

= ; donc VeTuEt. Cela fuppofé, voici com ment j'ai raisonné.

VeT= uEt; donc fi Tt, l'on aura Ve=uE; ou, ce qui revient au même Vu::E:e; donc deux corps qui parcourent en tems égaux des efpaces inégaux, ont leurs viteffes comme les efpaces parcourus.

e=

VeT uEt; donc fi E, l'on aura VT=ut, ou, Vut:T; donc deux corps qui parcourent en tems inégaux des efpaces égaux, ont leurs vîteffes en raifon inverfe des tems.

Le corollaire 3. fe comprend à la premiere lecture. Il n'en eft pas ainfi du quatrieme; j'ai befoin de votre fecours pour le comprendre. Cette difficulté m'a empêché de paffer au théorême fecond. Je vous prie de m'envoyer le commentaire de ce corollaire, & d'y ajouter les éclairciffements des points qui pourroient m'arrêter encore dans la lecture de ce chapitre. Vous obligerez celui qui fera toute fa vie avec la reconnoiffance la plus parfaite &c.

REPONS E.

Contenant des éclairciffements pour le corollaire 4 de l'article pour les articles 52, 53, 58, 60 & 6.2.

V

44,

&

Ous voulez donc que je vous démontre, M., que

les viteffes de deux corps qui parcourent des efpaces qui font entr'eux réciproquement comme les tems, font entr'elles, ou directement comme les quarrés de ces efpaces ou réciproquement comme les quarrés des tems. Pour en venir à bout, je me fers pour les viteffes, les efpaces & les tems qui ont rapport aux corps A & a, des mêmes lettres dont vous vous êtes fervi yous-même. Voici donc comment je procéde.

1°. Par hypothefe, les tems font en raifon inverse des efpaces; donc T:t:: ; donc je pourrai fubftituer

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I I

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e

ee

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ee; donc Vu::EE: ee;

même e divifé pår donc les viteffes de deux corps qui parcourent des efpaces qui font entr'eux réciproquement comme les tems font entr'elles directement comme les quarrés de ces efElles font encore entr'elles réciproquement comme les quarrés des tems.

paces.

3 Par hypothefe, les efpaces font en raifon inverfe des tems; donc E: e:

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T

I

; donc je pourrai fubfti

E

e

T

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I

TT tt

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dont je viens de parler, j'aurai Vu: donc les vîteffes de deux corps qui parcourent des efpaces qui foht entr'eux réciproquement comme les tems, font entr'elles réciproquement comme les quarrés des tems. Voilà, M., ma réponfe au premier article de votre lettre. Pour répondre au fecond d'une maniere qui vous fatisfaffe, je vous envoie le commentaire des articles 52, 53, 58, 60 & 62; ce font les feuls qui foient capables de vous arrêter dans l'étude de la Mécanique. Pour faifir l'article 52, il faut fe rappeller que fi

E

T

V = &u=; donc EVT, &e=ut; donç Ee: VT:ut; donc les efpaces parcourus font en rai fon compofée des viteffes & des tems. fuppofons maintenant des efpaces parcourus en des tems proportionnels ; aux viteffes, c'eft-à-dire, fuppofons que Vu::T:t; je pourrai fubftituer la raifon de V à u à celle de Tà ; donc fi Ee::VT:ut, l'on aura par fubftitution Ee: VV: uu. Je fubftituerai de même la raifon de Tàtà celle de V à u; donc fi Ee:: VT: ut, l'on aura Ee::TT: tt; donc les efpaces parcourus en des tems proportionnels aux viteffes, font entr'eux comme les quarrés des viteffes, ou comme les quarrés des tems. Ee: VT:ut; donc en fuppofant T: :: V 11

V ย V' น

I

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I

l'on aura E:e::
ou II; les espaces parcou-
rus en des tems réciproquement proportionnels aux vî-
teffes, font égaux entr'eux & c'eft-là le commentaire
de l'article 53.

E

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V = &u=;; donc VT=E & ut=e; donc

E

T == &t=

V

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tenant que E :e ::

c'est-à-dire, fuppofons que les

V น

espaces parcourus font en raifon inverfe des vîteffes, l'on

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