machine. Voilà deux remarques que j'ai voulu vous communiquer, avant que d'en venir à l'examen du plan incliné représenté par la figure 13 de la planche 6. Le plan incliné BEC eft une machine compofée de trois côtés, l'un horizontal BE, l'autre perpendiculaire CE, & le troifieme oblique BC. Ce troisieme côté eft la piece effentielle du plan incliné; il en détermine la longueur, & il forme toujours avec la ligne horizontale BE, ou la bafe du plan, un angle aigu CB E. Pour le côté perpendiculaire CE, il défigne la hauteur du plan BEC. On fe fert de cette machine tantôt pour élever un poids à une hauteur donnée avec plus de facilité tantôt pour faire defcendre un poids avec moins de rapidité. Je veux, par exemple, faire monter jufqu'au point Cle poids A placé au point B ; & au lieu de le tirer, d'abord horizontalement de B en E, & enfuite perpendiculairement de E en C, je me mets au point C; je fais attacher une corde au poids A; je fais entrer cette corde dans la gorge de la poulie immobile p Q, & je tire le poids A par la ligne oblique, ou par le plan incliné BC: l'on demande de quelle utilité m'a été cette machine. Je réponds qu'à l'aide d'un plan incliné quelconque BEC, la viteffe de la puiffance à celle du poids :: la longueur BC du plan BEC: à fa hauteur CE. Pour le démontrer, je fais BHCE. : 1°. Il eft impoffible que le poids A monte du point B au point H, fans qu'il m'ait paffé par les mains une quantité de cordes égale à la ligne CE. Donc dans ce tems-là la viteffe de la puiffance eft repréfentée par CE. Pour la vîteffe du poids, elle eft repréfentée par GH, parce que le poids A, en parcourant BH, ne s'approche de la hauteur à laquelle on veut l'élever, que de la quantité GH. Donc la vîteffe de la puiffance à celle du poids: CE: GH. : 20. A caufe des triangles femblables BGH & BEC, l'on a CE: GH:: BC: BH ou CE; donc la vîteile : de la puiffance à celle du poids: BC CE, ou comme la longueur BC du plan BEC eft à fa hauteur CE. 3o. En prenant BC pour finus total, CE devient le finus de l'angle de l'inclinaifon du plan BEC; donc la viteffe de la puiffance à celle du poids :: le finus total: au finus de l'angle de l'inclinaifon du plan. 4°. La force de la puiffance, de même que celle du poids, ont chacune pour mesure le produit de la masse par la viteffe; donc, en cas d'équilibre, la maffe du poids doit autant l'emporter fur la maffe de la puiffance, que la vîteffe de celle-ci l'emporte fur la vîteffe de celuilà donc la puiffance qui retient un poids en équilibre fur un plan incliné, eft à ce poids, comme le finus de l'angle de l'inclinaifon du plan eft au finus total, ou comme la hauteur CE du plan incliné BEC eft à fa longueur BC. : : Je conviens, Monfieur, que cette démonftration n'est exactement vraié, que lorfque la direction fuivant laquelle la puiffance foutient le poids eft parallele au plan incliné; M. l'Abbé de la Caille l'a très bien démontré à l'article 263; il a encore démontré, à l'article 264, que lorsque la direction de la puiffance eft parallele à l'horifon, la puiffance au poids la hauteur CE du plan incliné BEC à fa bafe BE; & voilà pourquoi je regarde comme un chef-d'oeuvre la démonftration de l'article 262. Comme elle eft générale, elle renferme tous les cas poffibles, c'est-à-dire, toutes les directions fuivant lefquelles une puiffance quelconque peut être appliquée à un poids quelconque. Je vous prie de la relire avec attention, après vous être bien convaincu que le triangle rectangle K A G est semblable au triangle rectangle DCK de la figure 32 de la planche 3. En effet l'angle KAG de l'inclinaifon du plan BFA eft évidemment égal à l'angle ICp, puifque par hypothefe IC eft parallele à AB, & Cp à A F. Mais l'angle ICp eft évidemment égal à l'angle DCK, puifque l'un & l'autre ajoutés à l'angle DCH valent chacun un angle droit ; donc l'an gle DCK eft évidemment égal à l'angle KAG; donc le triangle rectangle K AG est semblable au triangle rectangle DCK; & voilà ce qui vous fuffira pour comprendre fans peine l'article 262, fur-tout fi vous avez préfent à l'efprit l'article 213. Pour l'intelligence de l'article 263, vous vous rappellerez que lorfque la puiffance foutient le poids fuivant la direction parallele IC, alors l'angle ICp devient zero, ou infiniment petit, & que fon complément étant un angle droit, le finus de ce complément devient par-là même le finus total. Les articles 264 & 265 ne doivent rien vous coûter à faifir. Il en eft de même de l'article 266. Plus la direction de la puiffar eft oblique par rapport au plan incliné, plus petit eft gle complément de cette inclinaifon. Enfin l'arti 267 contient la vérité la plus inconteftable. Plus l'inaifon du plan diminue, c'est-à-dire plus l'angle de l'inclinaifon du plan eft aigu, plus la puiffance a de facilité à élever le poids, parce que plus un plan et incliné, plus fa longueur l'emporte fur fa hauteur. pour Voilà, Monfieur, tout ce que nous avons à dire le préfent fur la nature du plan incliné : nous reprendrons dans la fuite cette matiere, & nous nous ferons un devoir de marcher fur les traces de M. l'Abbé de la Caille. Je fuis, &c. C LETTRE DIXIEME. Neceffité d'un Commentaire pour l'article 273. 'Eft plutôt un billet, qu'une lettre que vous recevrez aujourd'hui de moi, Monfieur; je fais que vous avez l'Analyse démontrée du P. Reynau ; je vous prie de m'envoyer ce qu'il a écrit fur la Chaînette, & de l'accompa gner d'un commentaire de votre part, fi cela vous paroît néceffaire; M. l'Abbé de la Caille nous renvoie à cet Auteur, après avoir dit fur les poids foutenus par des cordes des chofes qui font à la portée de quiconque a préfent à l'efprit l'article 213 de fa Mécanique. Cet article contient la démonftration des articles 270 & 271. J'attends avec impatience votre réponse ; ce ne fera qu'après l'avoir lue, que je commencerai l'étude des machines compofées. J'ai l'honneur d'être, &c. RÉPONSE. Principes néceffaires pour l'intelligence de la Chainette. Penfees du P. Reynau fur cette courbe. Méthode pour la rectifier. CE que le P. Reynau a écrit fur la Chainette, Mon fieur, n'auroit befoin d'aucun éclairciffement, pour vous fur-tout qui avez très bien étudié le traité des Sections coniques de l'Abbé de la Caille, & ce que cet Auteur a donné fur les calculs différentiel & intégral à la fin de fes éléments de Géométrie & d'Algebre dont je vous ai déja envoyé le commentaire. Cependant pour ne pas vous mettre dans la néceffité de relire des démonf trations qui vous détourneroient de l'étude de la Mécanique, je vous confeille de regarder comme autant de principes inconteftables les vérités fuivantes. 1o. L'hyperbole nS M Fig. 14 Pl. 6, eft une courbe dans laquelle le quarré d'une ordonnée quelconque PM eft au rectangle fait fur les abfciffes correfpondantes SP, SP, comme le parametre n N eft à l'axe principal S s. Ainfi en nommant Ss, 2 a; PM,y; n N, p; CP, x; parce qu'on compte les abfciffes depuis le centre C, l'on aura SPx a, & S P = x+2. La proportion précédente exprimée algébriquement fera donc yy: xxa::p:24; donc 2 ayyp x x a ap; donc aaps 2ayy P = x x — a a; & c'est-là l'équation à l'hyperbole confidérée en général. 2°. L'hyperbole équilatere eft une espece d'hyperbole dans laquelle l'axe principal Ss, fon axe conjugué LI & le parametre Nn font trois quantités égales, & dans laquelle par conféquent 2 ap; donc l'équation générale à l'hyperbole devient pour l'hyperbole équilatere y y aa & y =Vxx aa. Cette courbe a encore cela de particulier que les deux affymptotes Rr & Vu forment un angle droit à leur point d'interfection C. 4o. Rectifier une courbe, c'eft trouver une ligne droite égale à une ligne courbe. 5o. En nommant dans la courbe B AC, Fig. 15 Pl. 6 BA, u; en nommant encorex chaque coupée prife fur l'axe AD, & y chaque ordonnée correfpondante, l'on aura Bbdu eb = dx, & eBdy; l'on aura auffi du2 = d x2 + dy2 à caufe du triangle Beb rectangle en e, & par conféquent du Vax+d y2. Voilà, Monfieur, les principes qu'il faut avoir préfents à l'efprit, pour comprendre fans peine ce qu'a écrit le P. Reynau fur la chainette dans fon Analyfe démontrée, tom. 2, pag. 389 & fuivantes. Je vais, puifque vous le fouhaitez, vous en envoyer la copie. [BAC eft une chaîne très flexible & incapable d'extenfion, compofée par exemple de très petits anneaux égaux ou de globules égaux, attachée par les deux bouts en B& C, qui font dans la même horizontale BC; il faut trouver la courbe BAC formée par cette chaîne fufpendue librement, fig. 15 pl. 6. Il est évident 1°. qu'à caufe de la parfaite uniformité qu'on fuppofe dans la chaîne, elle doit fe difpofer par la |