pefanteur & fa flexibilité, de telle forte qu'en menant par le point A, qu'on fuppofe le plus bas, la verticale AD, la figure BAC foit partagée par la moitié par AD, & que les deux moitiés de cette courbe BA & ĈA foient égales & uniformes; de façon que prenant AD pour l'axe & A pour l'origine, les ordonnées DB, DC, à un même point D de l'axe, foient égales.

2°. Que la partie de la courbe au fommet A, qu'on conçoit infiniment petite, eft parallele à l'horizon; & qu'ainfi la tangente Ag au fommet eft horizontale.

3°. Que fi dans la fituation où s'eft mise la chaîne fufpendue en B & C, (la fuppofant fur un plan vertical) on l'attachoit à ce plan au fommet A, elle ne changeroit point de figure; de maniere qu'en concevant l'une des moitiés, comme A C, retranchée, celle qui resteroit, comme B A, conferveroit la même figuré qu'elle ávoit; d'où il fuit qu'on peut concevoir au fommet A la force qu'on nommera a, qui retire chaque moitié BA CA de la fituation verticale ou de la perpendiculaire à F'horizon Bg, ou CK, où elle fe difpoferoit par par fa pefanteur, fi elle n'étoit attachée que par l'un de fes bouts B ou C, pour lui faire prendre la figure courbe BA ou C А.

4°. Que chaque point de la chaîne eft tiré verticalement en bas par la pefanteur de la partie de la chaîne qui eft depuis ce point là jufqu'au point le plus bas A. Ainfi le point B eft tiré en bas verticalement par le poids de la moitié de la chaîne B A; chaque point pris entre B & A, eft tiré de même par le poids de l'arc de la chaîne qui eft depuis ce point là jufqu'au point A. On peut prendre, à caufe de l'uniformité de la chaîne, chacun des arcs de la chaîne, qu'on nommera u pour la pefanteur de ce même arc. D'où l'on voit que chaque petite partie de la chaîne cft tirée verticalement. par l'effort du poids u, & en même-tems horizontalement par la force a du fommet A ; ce qui lui fait prendre la firuation de la tangente de ce point ou de cette petite partie de la courbe. Ainfi

5. En concevant par chaque point de la chaîne (on prendra ici pour exemple le point B) une verticale Bg. jufqu'à la tangente horizontale Ag du fommet A, la tangente B M de la chaîne à ce point B, & par g la parallele g Nà la tangente BM, le point B eft pouffé verticale, ment fuivant la direction Bg par le poids de la moitié de la chaîne, & retiré en même-tems horizontalement, fuivant la direction horizontale g A, ou une parallele g A au point B, par une force conftante qui eft la même pour chaque point, & qu'on conçoit au fommet A tirant fuivant g A; ce qui eft caufe que la partie infiniment petite Bb eft mife par ces deux efforts dans la direction de la tangente B6 M qui eft le prolongement de la petite partie B b. Or en menant la verticale e bm infiniment proche de Bng, l'on aura le petit triangle Bbe, rectangle en e, femblable au triangle Bg M rectangle en g, & l'on aura pour chaque point comme B cette proportion, (en fuppofant que Bg repréfente l'effort u de la chaîne BA fuivant la verticale, & g M l'effort de la force conftante a qu'on conçoit au fommet A) Mg: Bg: Be eb:: a: u.

:

Ainfi nommant chaque coupée prife fur l'axe AD ou fur les paralleles à l'axe comme Bg, & y chaque ordonnée BD; Be fera dy & e b fera dx, & la proportion précédente s'exprimera de cette maniere; Be (dy): e b ( d x ) :: a : u; d'où l'on aura a dx=udy, ou dy pour l'équation de la courbe B A ou CA formée par la Chaînette.

น

Corollaire. Comme du au lieu de dy fa valeur

Vuu dx2+a adx2

Vax2 + dy2 ( en mettant

a adx2

prife de dy

uu+aa, qui donne du2

7

=

adx)

นน

dx

Vu

ou bien uu du2 =
uudu2

นน

dx

on aura udu = d x Yuu+a; d'où l'on tire dx

udu

Vuu + a a

en prenant les intégrales, l'on aura

a

uu+aa, & x x = uu + aa, & uu = x x - aa, ou bien u = √x x (qui fait voir que la longueur. d'un arc quelconque u de la courbe B A formée par la chaîne, eft égale à l'ordonnée d'une hyperbole équilatere dont a eft le demi-axe & la coupée). Enfin en met

tant cette valeur de u dans dy

a dx

√xx - a a

=

ad x

on aura dy

=

น

pour l'équation de la courbe formée par la Chaînette. ]

Voilà, Monfieur ce que dit le P. Reynau fur la nature de la courbe formée par la chaîne BA C. I me paroît qu'il ne feroit pas impoffible de dire les mêmes chofes en moins de mots & d'une maniere beaucoup plus claire que lui. Pour ce qui regarde la construction de l'hyperbole équilatere AF, Fig. 16 pl. 6,étant donné le demiaxe principal AE-Ag, Fig. 15 P1.6, vous la trouverez, fi vous vous rappellez que cette efpece d'hyperbole ne peut pas avoir y=xx — pour équation y y = xx — aa, fans avoir la proportion fuivante xay:: yx+a, c'est-à-dire que dans l'hyperbole équilatere l'ordonnée est toujours moyenne proportionnelle entre fes abfciffes correfpon

dantes.

fur

Soit donc donné l'axe principal A Ea, Fig. 26 Pl. 6, lequel il faille conftruire une hyperbole équilatere dont le fommet foit A & le centre E. Pour réfoudre ce problême je prolonge indéfiniment l'axe principal a EA du côté de D. Je nomme aEA, 2a; ED, x; DC, y; j'aurai donc par-là même E A E aa, AD=ED EA=x a, & a Da E + ED = x + a. Je fais enfuite DC moyenne proportionnelle entre AD aD. Je fais encore de moyenne proportionnelle entre fes abfciffes correfpondantes Ad, ad. J'éleve enfin fur AD autant d'ordonnées que je voudrai, qui foient moyennes proportionnelles entre leurs abfciffes correfpondantes; la

Courbe A F qui paffe par le fommet A, & par toutes les extrêmités des ordonnées DC, de &c. fera évidemment un arc d'hyperbole équilatere, puifqu'à chaque point C l'on aura DC2 = AD× a D, ou y y = x x Cette méthode me paroît plus fimple, que toutes celles qu'on a coutume de donner pour la conftruction de femblables courbes.

a a.

De ce que je viens de vous dire, il fuit évidemment, Monfieur, que l'arc AC de la Chainette BAC, Fig. 15 Pl. 6, eft égal à l'ordonnée DC de l'arc hyperbolique A F. Fig. 16 Pl. 6. Je finirai cette lettre en vous faifant re'marquer qu'on peut par le moyen du compas de propor tion tirer très facilement une moyenne proportionnelle à deux lignes données, par exemple, à la ligne a de 20 & à la ligne d de 45 parties égales. Pour en venir à bout, ouvrez 1°. le compas ordinaire à la distance de 45 parties égales, ou de la ligne d, & tranfportez les deux pointes de ce compas ainfi ouvert fur le double nombre 45 de la double ligne des plans du compas de proportion.

2o Le compas de proportion demeurant ainfi ouvert, prenez avec le compas ordinaire la diftance qui fe trouve entre le double nombre 20 de la double ligne des plans; cette distance vous donnera la longueur de la moyenne proportionnelle que vous cherchez. En effet elle vous donnera une ligne de 30 parties égales. Or 20: 30:: 30: 45. Je ne vous envoie pas la démonftration de cette méthode; vous la trouverez à l'article Compas de proportion, dans l'édition de mon petit Dictionnaire de Phyfique en 2 vol. in-8°. que j'ai eu l'honneur de vous envoyer comme une preuve de l'attachement fincere avec lequel je fuis, &c.

LETTRE ONZIE ME.

Infuffifance de ce qu'a écrit M. l'Abbé de la Caille fur

J

le coin.

'Ai paffé depuis quelques jours, Monfieur, à l'étude de ce que l'Abbé de la Caille nous a donné fur les machines compofées, & je vous avouerai avec la franchise que vous me connoiffez, que je m'attendois à quelque chofe de plus de la part de cet Auteur. Et d'abord je n'examinerai pas ici s'il a eu droit de ranger le coin dans la claffe des machines compofées je n'en connois gueres de plus fimple que celle-là; cet arrangement cependant n'en feroit que meilleur, s'il contribuoit à éclaircir la matiere. Mais il n'en eft pas ainfi. Rien ne m'a arrêté dans la lecture des cinq articles qui regardent le coin, & je n'en fuis gueres plus avancé qu'auparavant, c'est-àdire, que je ferois fort embarraffé fi quelqu'un me prioit de lui dire de combien précisément, par le moyen de cette machine, la vîteffe de la puiffance l'emporte fur celle du poids ou de la réfiftance. Je vous prie de m'envoyer une démonftration qui me mette à même de fatisfaire à une pareille demande, fi jamais on me la faifoit. J'ai l'honneur d'être, &c.

RÉPONSE.

Supplement à ce qu'a écrit l'Abbé de la Caille fur le coin &fur la force de percuffion.

J

E n'aurai pas grand peine, Monfieur, à répondre à la demande que vous me faites dans votre lettre. Jettez les yeux fur la figure 37 de la planche 3, & vous verrez que tandis que les parties du bois H fe font écartées

de