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avec un des deux poids applicable à l'une de ses extrêmités, & que l'on demande l'autre poids qui doit tenir ce premier en équilibre. Ce problême mérite d'être résolu dans toutes les formes. Supposons donc que le levier A B ait 6 pieds de long, 12 livres de masse, & que le poids p de 100 livres soit placé à 2 pieds du point d'appui D; l'on demande quel poids il faut appliquer à l'extrêmité A pour tenir en équilibre celui qui le trouve suspendu' à l'extrêmité B.

Pour résoudre ce problême je fais la proportion sui-. vante qui pourra servir de formule, ou de regle générale pour tout levier de la premiere espece.

La distance du poids donné au point d'appui, est à la distance du centre de gravité du levier au même point d'appui , comme la pesanteur du levier est à un quatrieme terme qui vous donnera la partie du poids donné que le, centre de gravité du levier tiendra en équilibre. L'on dira donc dans le cas proposé , 2 pieds de distance font à 1 pied de distance du point D, comme 12 livres sont à 6 livres ; c'est-à-dire , que dans le cas proposé il y aura 6 liv. dans le poids d'un quintal qui seront soutenues par le centre de gravité du levier. Ce sera donc à un poids de 94 livres, éloigné de 2 pieds du point d'appui , qu'il faudra chercher une puissance, ou un moindre poids éloigné du même point d'appui de 4 pieds , qui le tienne en équilibre. Le principe général de mécanique vous fournira , pour résoudre ce problême , l'analogie suivante ; 4 pieds , distance de la puisance ou du moindre poids au point d'appui : à 2 pieds , distance du plus grand poids au même point d'appui :: 94 : 47 ; donc dans le cas proposé il y aura équilibre entre un poids de 100, & un poids de 47

livres ; bien entendu que le poids de 100 livres, éloigné de 2 pieds du point d'appui , est soutenu en même tems , & par un poids de 47 livres éloigné-de' 4 pieds , & par un poids de 12 livres éloigné d'un pied du même point d'appui.

Remarquez cependant, Mongeur, que la proportion:

en forme de formule dont je me suis servi dans cet exemple, fuppose que le point d'appui se trouve entre le poids donné & le centre de gravité du levier; ce même problême peut être proposé d'une maniere encore plus générale , en l'énoncant en ces termes : la longueur , la pesanteur e le point d'appui d'un levier quelconque de la premiere efpece étant donnés, déterminer le poids qu'il faut appliquer à l'extrêmité du bras le plus court , pour que ce levier soir en équilibre avec lui-même.

Reprenons notre ancien levier AB de 6 pieds de long & de 12 livres de masse. Rappellons-nous que fon point d'appui D est supposé à la fin du quatrieme pied, ou ce qui revient au même , rappellons-nous que le bras AD a 4 pieds, & le bras D B 2 pieds de longueur; je dis que pour le mettre en équilibre avec lui-même, il faudra attacher un poids de 6 livres à l'extrêmité du bras le plus court. En voici la démonstration; c'est la même que la précédente, mais elle me paroît plus claire.

Puisque le levier AB est supposé homogene & parfaitement égal dans la longueur de 6 pieds, le poids du 6€. & du se. pieds qui forment le bras le plus court DB Jeront en équilibre avec le poids du quatrieme & du troifeme pied qui forment une partie du bras le plus long AD; car ces 2 poids sont de 4 livres chacun, & ils font à égale distance du point d'appui D. Il reste encore le poids du second & du premier pieds , c'est-à-dire, il reste encore 4 kyres qu'il faut mettre en équilibre avec un poids que

l'on attachera à l'extrêmité du bras D B. Ces 4 livres réunies à leur centre de gravité C, fe trouvent à 3 pieds du point d'appui D; donc, pour élider leur force ,'il en faudra mettre 6 à l'extrêmité du bras DB , parce que 6 livres à ż pieds du point d'appui, & 4 livres à 3 pieds du même point d'appui, ont évidemment égale force.

Cette opération une fois faite, vous serez en droit de regarder le levier AB comme dénué de toute pesanteur ; & tous les poids que vous suspendrez à ses deux extrêmités A & B seront en équilibre, lorsqu'ils auront leurs malfes

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en raison inverse de leurs distances au point d'appui. Voilón pour ce qui regarde les leviers de la premiere espece; il s'agit maintenant de trouver une regle générale qui nous serve de formule pout mettre le levier de la feconde espece en équilibre avec lui-même. Il n'est pas nécessaire de vous rappeller que dans ce levier le poids se trouve toujours entre la puissance placée à une extrêmité & le point d'appui placé à l'autre extrêmité. Il est encore moins nécessaire de vous prouver que la rame du batelier est un véritable levier de la seconde espece. Tout le monde voit que la main attachée à l'une des extrêmités de la rame , est la puissance ; le poids, c'est le bateau attaché au milieu ; & le point d'appui se trouve à l'autre extrêmité de la rame qui s'appuye contre l'eau qu'elle déplace.

L'on me donne donc une rame de 10 pieds de long & de 30 livres de masse ; l'on m'avertit que son centre de gravité est à-peu-près au milieu , c'est-à-dire , l'on m'avertit que son centre de gravité est éloigné des pieds du poins d'appui ; l'on me demande quel effort doit faire le batelier pour élider la force d'un poids de 30 livres placé au centre de gravité de la rame , ou ce qui revient au même, l'on me demande quel effort doit faire une puissance éloignée du point d'appui de 10 pieds, pour soutenir un poids de 30 livres éloigné de 5 pieds du même point d'appui. Il est évident

que

le batelier élidera la pesanteur de la rame, en faisant un effort capable de soutenir un poids de 15. livres, car 10 pieds, distance de la puisance au point d'appui : à 5 pieds, distance du centre de gravité de la rame au même point d'appui : : 30 livres, pesanteur de la rame : à 13 livres.

La formule générale pour les leviers de la seconde espece fera donc celle-ci ; la longueur du levier : à la distance de fors

. centre de gravité au point d'appui :: la pesanteur du levier : à un quatrieme terme qui vous donnera l'effort

que

deyra faire la puissance pour élider cette pesanteur. Cette analogie n'a pas besoin de preuve;

elle eit fondée, comme les précédentes , sur le principe général de la Mécanique..

Je ne vous parlerai pas ici, Montieur , du levier de

troisieme espece ; c'est plutôt une antimachine , qu’une véritable machine , puisque avec cet instrument la puissance est toujours moins éloignée du point d'appui, que le poids qu'elle veut soutenir ou foulever. Voilà ce que j'ai cru devoir ajouter aux articles 319, 320 & 321, pour leur fervir de commentaire ; l'article 322 a besoin d'une addition encore plus considérable ; vous pouvez compter pour rien ce qu'a dit l'Abbé de la Caille dans cet article.

Cer Auteur nous avertit que lorsqu'on se sert de la poulie, il faut avoir égard au poids des cordes, à leur roideur & au frottement que les différentes parties de cette machine exercent les unes sur les autres. C'est-là dire des choses que tout le monde fait. Pour nous, nous prendrons une route bien différente; & comme chaque poulie éprouve un frottement différent, nous croyons devoir commencer par réfoudre le problême suivant :

Etant donnée une poulie quelconque immobile , chargée de deux poids quelconques égaux ; trouver le frottement qu'elle éprouve dans la pratique ?

1°. L'on me donne la poulie CD, Fig. 1 Pl. 7 dont on me charge de calculer le frottement. Pour le trouver, je pese d'abord la poulie elle-même, ensuite les cordes, enfin Ies deux poids égaux A, B. Supposons donc que la poulie pese 10 livres , les cordes 5 livres , & le 2 poids 7 livres À chacun. Cela supposé, voici comment je raisonne : il est évident que pour peu que j'ajoute à l'un des deux poids , l'équilibre ne devroit pas subsister; & fi le contraire arrive, cela ne peut venir que du frottement qui se trouvera plus fort, que la quantité qu'on aura ajoutée à l'un des deux poids A, B.

J'examine quel est le poids ajouté qui a rompu l'équilibre; & fi c'est 2 livres, je dirai : fi 30 livres causent un frortement de 2 livres, quel frottement causeront 10 livres ? ou , 30: 2 :: 10 : =;, c'est-à-dire, que le frottement de la feule poulie CD fera de į de livre.

Le frottement des seules cordes sera de de livre, parce que 30 : 2:: 5 ::= Enfin le frottement causé

par

lau

pression des deux poids A, B sur l'axe de la poulie CD, fera de 1 livre, parce que 30 : 2 :: 15:1.

Si le poids B étoit soutenu par une puissance P de 7 liv. dont la direction fût oblique à l’horizon, le frottement ne feroit pas aussi considérable que dans le cas de la direction perpendiculaire. Pour le trouver , voici comment je raisonne : la puislance ou la force P, représentée par la ligne PC, équivaut aux deux forces PR & CR. La force horizontale PR ne pese pas sur l'aissieu de la poulie ; cet aillieu n'est donc chargé que de la force CŘ; c'est-à-dire , que la charge qu'exerce fur l'aillieu de la poulie CD la puissance P dirigée perpendiculairement à l'horizon , est à la charge qu'elle exerce sur le même aislieu, lorsque la direction est oblique ; comme PC, eit à CR, ou comme le sinus total est au sinus de l'angle de l'inclinaison de la puissance à l’horizon. Si le sinus de l'angle d'inclinaison n'est que la moitié du sinus total, laissieu de la poulie CD, dans le cas de la direction oblique dont il s'agit , sera chargé de 3 livres de moins. Il en sera de même de la charge qu'exerce la corde PC sur le même aislieu ; elle sera relative à la grandeur du finus de l'angle de l'inclinaison de la puissance à l'horizon. Ainsi si la corde PC pese 2 livres , elle ne chargera dans le cas présent l’aissieu que de 1 livre Enfin si la direction, du poids B étoit oblique à l'horizon, on feroit par rapport à lui tout ce qu'on a fait par rapport à la puissance P, & l'on trouveroit par-là la charge qu'il exerceroit sur l'aislieu de la poulie. Cela fait , on chercheroit comme dans le problême précédent les différents frottements occasionnés par les différentes pesanteurs de la poulie, des cordes, de la puissance & du poids. Pour éclaircir toujours plus cette matiere, reprenons l'exemple précédent, & après avoir trouvé que 30 livres donnent un frottement de 2 livres dans le cas de la perpendicularité des directions de la puissance & du poids, cherchons quel sera le frottement dans le cas que ces mêmes directions feront avec l'horizon un angle de 30 degrés ; car le sinus de cet angle eit précisément la moitié du sinus total.

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