Pour trouver le centre de gravité X du cone tronqué DEBC, je confidere la ligne g GX comme un levier dont le point d'appui eft au point G, centre de gravité du cone entier DAE, & dont les 2 extrêmités g & X font chargées, l'une du centre de gravité g du petit cone BAC, & l'autre du centre de gravité X du cone tronqué DEBC, dont la folidité eft de 250 pieds cubes. Pour avoir la longueur XG, je dis donc, (art. 241 ) XG folidité du cone BAC xgG, divifée par la folidité du cone DAE la folidité du cone BAC, ou XG=- SCXIS 750 3, c'est-à-dire . c'est-à-dire, que le centre 300-50 --- 250 de gravité du cone tronqué DEBC fera éloigné de 33 pieds du fommet A, ou de 7 pieds du centre de la base DdEe. L'article 369 ne peut être compris que par ceux qui fe rappellent les articles 709, 710, 711, 712 & 713 des éléments de Mathématiques de M. l'Abbé de la Caille. En effet fuppofons un cylindre ABED de la figure 47 de la planche 3, dont AB foit le diametre du cercle qui lui fert de bafe, & CI la hauteur; il fuit de l'article 709 que fa folidité eft égale au produit de la furface du cercle qui lui fert de base par la hauteur CI. Suppofons enfuite un cone dont ED ou AB foit le diametre du cercle qui lui fert de base, & CI la hauteur; il fuit de l'article 710 que fa folidité eft égale au tiers du produit de la furface du cercle qui lui fert de base par la hauteur CI; donc le cone en queftion n'a que le tiers de la folidité du cylindre dont il s'agit; & c'eft-là précisément le réfultat de l'article 711 qui apprend qu'un cone n'a que le tiers de la folidité d'un cylindre de même base & de même hauteur. Suppofons enfin une demi-fphere A ID dont AB foit le diametre du cercle qui lui fert de base, & CI la haureur; il fuit de l'article 712 que fa folidité eft égale aux deux tiers du produit de la furface du grand cercle qui lui fert de bafe par la hauteur CI; donc la folidité du cylindre ABED eft égale à la folidité de la demi-sphere AID & du cone ECD prifes ensemble, & c'est-là le réfultat de l'article 713; donc la folidité de la demi-fphere AID eft double de la folidité du cone ECD. Toutes ces connoiffances font néceffaires pour bien comprendre l'article 369 qui ne préfente prefque plus de difficulté, fur-tout lorfqu'on fe rappelle que la moitié de = & que // , L'article 370 ne demande aucun commentaire. Il n'en est pas ainfi des 5 articles fuivants; ils en demandent un peut-être plus long que cette lettre. Je vous prie de vous en charger & de me croire, &c. RÉPONSE. Remarques fur les articles 371 & 372. Commentaire des articles 373 374 375. E commentaire dont vous me parlez, Monfieur, ne fera pas auffi long que vous le penfez; les articles 371, 372, 373, 374 & 375 ne fuppofent que la connoiffance des premiers éléments des calculs différentiel & intégral; & je me rappelle que vous ne parutes pas mécontent du commentaire que je vous envoyai fur cette matiere, lorfque vous lifiez les Leçons Elémentaires de Mathématiques de M. l'Abbé de la Caille. Relifez donc à votre loifir mon Guide des jeunes Mathématiciens, depuis la page 183 jufqu'à la page 214, & vous conviendrez qu'il y a dans les articles que vous venez d'expliquer des chofes beaucoup plus difficiles, que dans ceux que vous m'avez chargé de commenter. Et d'abord, il n'eft rien bien furement qui foit capable de vous arrêter dans la lecture des articles 371 & 372; vous favez auffi bien que moi que sydx fignifie la fomme de tous les efpaces infiniment petits y dx. Pour l'article 373, je conviens qu'il a befoin d'un com mentaire. mentaire. Aussi vais-je commencer par réfoudre le problême fuivant. Trouver la quadrature d'un efpace quelconque renfermé entre une ordonnée, une partie de l'axe, & un arc d'une parabole quelconque BA, Fig. 48 Pl. 3? Refolution. En nommant y une ordonnée quelconque. PM, & en nommant x fon abfciffe correfpondante AP je dis que l'efpace APM feraxy, c'eft-à-dire, fera égal aux deux tiers de l'efpace contenu dans un rectangle qui auroit pour base l'ordonnée P M & pour hauteur l'abfciffe A P. Pour le démontrer je tire pm infiniment près de PM; je tire encore M R parallele à Pp, & dans le trapeze infiniment petit du premier ordre PM pm je nćglige le triangle infiniment petit du fecond ordre MR m afin d'avoir le rectangle infiniment petit du premier ordre PpMRydx, parce que P M=y, & PP Demonftration. 1°. L'aire du rectangle Pp M R eft une partie infiniment petite de l'efpace A PM qu'il faut quarrer, parce que pm eft fuppofé infiniment près de P M. 2 dx. 2o. L'aire du rectangle Pp MRPMxPp=yxdx ydx; donc y dx eft une partie infiniment petite de l'efpace A P M; donc intégrer y dx, c'est quarrer l'efpace AP M. 30. L'équation à la parabole eft p x = yy. 4°. La différence de cette équation dans laquelle p eft une quantité conftante, eft pdx 2 y dy; donc dx = zydy, donc y d x = P c'est intégrer yd x. 2 2yydy; 5o. L'intégrale de 1y dy P P 6°. yy=px; donc 2 y falloit démontrer: 3 P donc intégrer ży2 dy P Ax 2 pxy 3 P 7°. Par la même raifon l'efpace An donc l'Abbé de la Caille a eu raifon d'avancer au commencement de l'article 373 que sy dx 3 xy. Lorfqu'on prend l'unité pour parametre de la parabole alors l'équation y y = px devient yy = 1xx; ce qui donne y = x2, & par conféquent xy=} x1+}, ouxy=x; donc en faisant p = 1, l'on a s y d x dx, Par la même raifon sxy dx deviendra sx3 d x, parce qu'il eft impoffible d'avoir xy.= x2, sans avoir = x2. xy=x En intégrant x dx, l'on aura divifé par donne pour = } x2. Divifons maintenant quotient, parce que & que x divifé par x Reprenons en peu quotient x2; donc sxydx. I donne x2 = ×1 = x. en peu de mots toutes ces opérations. sxy dx *ydx sydx sxy dx Mais AQ= donc A Q = x = An; > sydx & voilà le commentaire de l'article 373. L'article 374 en demande un encore plus confidérable. Pour faifir fans peine cet article, il faut avoir préfents à l'efprit les articles 661 & 976 des Leçons de Mathématiques de l'Abbé de la Caille, & le commentaire que nous avons donné du dernier de ces deux articles à la page 213 de notre Guide des jeunes Mathématiciens. L'article 661 apprend que les éléments d'une fphere quelconque font des cylindres infiniment minces, dont l'épaiffeur eft dx. Il fuit de l'article 976, & du commentaire que nous en avons donné dans notre Guide, que l'expreffion d'un de ces cylindres eft cxdx comment je raisonne, cxxdx. Cela fupposé, voici ar 1°. L'intégrale de cxdx x x x dx donnera la fomme 21 des cylindres élémentaires qui font un effort commun fur le fommet du fegment fphérique dont on cherche le centre de gravité; mais l'intégrale dont il s'agit, eft 3×2 r 2 = 1/2 c x x cx; donc la fomme de tous ces cylindres élémentaires eft représentée par cxx 20. Puifque x eft la diftance de chaque cylindre élé-: mentaire au point où il fait fon effort, le moment de cha cx3d x ; & l'intégrale de cette différentielle donnera la fomme des moments de tous les cylindres élémentaires. Mais l'intégrale de la différentielle en question eft 3 6x3+1 8 r donc la fomme des moments de tous les cylindres élémentaires 3o. Pour avoir la diftance du fommet d'un fegment de fphere à fon centre de gravité, il faut divifer la fomme des moments des cylindres dont le fegment eft compofé par la fomme des maffes de ces mêmes cylindres élémentaires ; & le quotient donnera ce que l'on cherche. Divi |