muniquer leurs remarques critiques fur notre Guide des jeunes Mathématiciens. Il paroît qu'ils auroient fouhaité que nous euffions donné avec beaucoup plus d'étendue les regles du calcul intégral. Nous aurions pu leur répondre que, n'écrivant que pour mettre à la portée de tout le monde les Leçons de Mécanique, d'Optique & d'Astronomie de M. l'Abbé de la Caille, & cet Auteur n'ayant prefque pas fait ufage de ce calcul, nous n'avons pas dû traiter plus au long une matiere dans laquelle les plus habiles Mathématiciens font prefque encore novices.

Comme cependant nous nous ferons toujours un devoir de foumettre nos lumieres aux leurs, nous allons mettre à la fuite de cette Préface un Traité du calcul intégral. S'il n'eft pas abfolument néceffaire pour l'intelligence des ouvrages de M. l'Abbé de la Caille, il le fera du moins pour lire avec fruit plufieurs grands Mathématiciens de nos jours qui ont employé ce calcul avec beaucoup de fuccès.

viij

ÉLÉMENTS

DU CALCUL INTÉGRAL.

E calcul intégral eft l'inverfe du calcul différentiel. En effet le calcul différentiel confifte à trouver une quantité infiniment petite, laquelle étant prife un nombre infini de fois, foit égale à une quantité finie donnée. Le calcul intégral au contraire confifte à trouver la quantité finie à laquelle appartient la différence infiniment petite qu'on vous donne. Dans l'un l'on connoît la fomme, & l'on cherche la différence infiniment petite; dans l'autre l'on connoît la différence infiniment petite, & l'on cherche la fomme. Cette fomme ou cette intégrale eft défignée dans ce calcul par la lettre S. Ainfi fdx repréfente la quantité finie dont dx eft la différence infiniment petite; done fdx = x; donc fdxfdy = x + y.

Il fuit de-là que dans le calcul intégral, la lettre équivaut à ces mots fomme de; parce que intégrer, ou prendre l'intégrale, c'eft fommer tous les accroiffements infiniment petits que la quantité a dû prendre pour arriver à un état déterminé.

Dans ce même calcul on appelle fonction d'une variable quelconque x, une autre quantité dans laquelle la variable x fe trouve mêlée, de quelque maniere que ce foit, avec ou fans conftantes. Ainfi x2, x3 ax, Va+x &c. font autant de fonctions de x.

On appelle par-là même fonction de deux variables xy, une quantité dans laquelle ces deux variables fe trouvent mêlées, de quelque maniere que ce foit, avec ou fans

conftantes. Ainfi xy-xx, Vaxy+byx &c. font autant de fonctions de xy.

Il y a un très-grand nombre de quantités différentielles qu'on ne peut pas intégrer, les unes, parce qu'en effet elles n'ont pu réfulter d'aucune différenciation exacte comme xdy, xdy-ydx &c; les autres, parce qu'on n'a pas encore trouvé de méthode pour les intégrer. Auffi s'en tient-on, pour ces dernieres, à une intégration approchée, comme nous le verrons dans la fuite.

Pour donner avec ordre les regles d'un calcul dans lequel les plus habiles algébriftes font prefque encore novices nous parlerons d'abord de l'intégration des différentielles à une feule variable; nous apprendrons enfuite à intégrer les différentielles à plusieurs variables.

Des différentielles à une feule variable.

La regle fondamentale fur laquelle eft fondée l'intégration des différentielles à une feule variable, est la fuivante.

Pour avoir l'intégrale d'une différentielle à une feule variable, il faut 1o. élever la quantité variable de la différentielle donnée à une puiffance plus grande de l'unité. Il faut 20. divifer la quantité que l'on veut intégrer, par cet expofant ainfi augmenté de l'unité & par la différentielle de la variable, c'eft-à-dire, il faut divifer la quantité que l'on veut intégrer, par ce nouvel expofant multiplié par la différentielle de la variable.

Problême z. Trouver l'intégrale de 34xxdx? Refolution. L'intégrale de 3 axxdx ou 3 ax2 dx est 3 ax2+1 dx 3 ax3 d x a x3. En effet la différentielle

2+ dx

3d x

de ax eft 3 ax3-1dx = 3 ax2 dx == 3 a x x d x; donc l'intégrale de 34xxdx eft ax3; donc la regle

que l'on vient de donner, eft infaillible pour trouver l'intégration des différentielles à une feule variable.

Corollaire. Par la même raifon x eft l'intégrale de mxdx. dx. En effet l'intégrale de mx-idx el

Par la même raison encore ax eft l'intégrale axidx

En effet l'intégrale de ax3 dx est

} a x}.

dx

+1dx {dx

Par la même raison enfin vx ou x eft l'intégrale

Avant que de propofer des problêmes plus difficiles appliquons ces premiers éléments du calcul intégral une propofition de géométrie; cherchons, par exemple par le calcul intégral l'aire du cercle A CBDF fig. zz pl. 7.

Pour la trouver, 1°. je prens le fecteur HCB, 2o je tire le rayon Ch infiniment proche du rayon HC 3o. je nomme C la circonférence AFBD, je nomme le rayon HC = Ch, je nomme x l'arc HB, & dx la différence Hh de la quantité variable BH. Cela fait voici comment je procéde.

1o. Le fecteur HCB a pour différence le secteur infiniment petit HCh.

2o. Puifque Hh eft une quantité infiniment petite on peut la confidérer comme une ligne droite, & par conféquent le fecteur HCh peut paifer pour un triangle rectangle en h, qui a CH pour bafe & Hh pour

hauteur.

Hh rdx

2

2

3o. L'aire du triangle HCh= CH× 4. r et une quantité conftante, donc l'intégrale de

rdx

2

rdx

2

='*= { × × = { CH×H B. Mais l'intégrale de

2

2

eft l'aire du fecteur HCB; donc l'aire du fecteur HCB=1CHxHB; donc on trouve l'aire du secteur BCH, en multipliant l'arc HB par la moitié du rayon CH; donc l'on trouvera l'aire du cercle ACBDF en multipliant la circonférence ABFD par la moitié du rayon CH; donc l'aire de ce cercle

REMARQUE I.

cr

2

L'Intégration des quantités dont nous allons faire l'énumération, dépend de la regie fondamentale que nous avons donnée. Comme cependant cette connexion ne se préfente pas d'abord à l'efprit du commun des commençans, nous allons en faire la matiere des problêmes fuivants.

Problême 2. Intégrer la quantité ( a + bxx)2 x d x? Refolution. 19. Prenez le quarré de a+bxx; vous aurez a a+ 2 a b x x + b2 x4.

2o. Multipliez ce quarré par dx; vous aurez a adx + 2 ab x2 d x + b2 x 4 dx.

3°. Appliquez la regle fondamentale du calcul intégral à chaque terme de ce trinome, & le problême fera rétolu. L'intégrale de la quantité donnée est donc a a x + a b x2 + b2 x5.

Corollaire. Par la même raifon l'intégrale de gx2 d xx (a + bxx)2 fera a a a a g x2 + 2 a b g x 5 + = b2 g x 7, parce que g2 d x x ( a + b x x )2 = a ag x x d x +2 abgx4 d x + b2 g x6 d x.

a + xxp+1

Problême 3. Intégrer la quantité 2 x d x x ( a + x x )P? Réfolution. eft l'intégrale demandée. En effet par la regle fondamentale l'intégrale de la quantité I 2 x dxx (a + x x )p+1

donnée eft

P + 1 x 2 x d x

a + x xp +1