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Remarquez que 2x dx eft la différentielle exacte de axx. Remarquez encore que dans la quantité 2 x dxx ( a +xx ), l'on a coutume de dire que a+ x xr est fous le figne, & que 2 x d x eft hors du figne.

Corollaire 7. Lorfqu'on a une grandeur complexe fous le figne multipliée par une différentielle hors du figne qui eft la différentielle exacte de cette grandeur complexe confidérée hors du figne, on en trouve l'intégrale par la regle fondamentale.

Corollaire 2. L'on a le même réfultat, lors même que la différentielle dont on vient de parler, eft multipliée ou divifée par une grandeur conftante. Ainfi l'intégrale de ¦ ( a2 d x + 2 b x d x ) x ( a2 x + bx2 ) = sera

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+2 axdx)× (ax+xx). L'intégrale de cette quantité eft (a* dx + 2 a x d x ) × ( a x + xx)

{+1x(adx+2x dx)

2

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grale de gdx (a + bx); pourquoi ? parce que par la regle fondamentale l'intégrale de ce binome eft...

g d x ( a + bx)

ptix b d x

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Quoiqu'on ne fache pas intégrer généralement toute différentielle binome, il fuit de ce que nous avons dit dans la remarque précédente qu'on fait intégrer la différentielle gx dx × ( a + bx") dans ces deux cas, 1o. lorsque l'expofant p eft un nombre entier pofitif, parce qu'alors on n'a qu'à élever le binome a + bx" à la puif fance p & qu'on n'a qu'à multiplier chaque terme de ce binome ainfi élevé par g x dx; 2°. lorfque g x" d x = gxdx, parce que, à quelques conftantes près, la différentielle de a + bx" fe trouve dans g x" -1dx.

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Outre ces deux cas, on fait encore intégrer toute différentielle binome, dans laquelle l'expofant de x hors du binome, étant augmenté d'une unité, pourra être divifé exactement par l'expofant de x dans le binome, & donnera pour quotient un nombre entier pofitif. Cette inté+ gration fe fait par le moyen d'une transformation, par laquelle on égale la quantité binome (fans fon expofant total à une feule variable; on cherche ensuite, à l'aide de cette transformation une nouvelle expreffion de la

différentielle propofée.

L'on me donne, par exemple, à intégrer hx3 dxx ( a + bx2 )3. Je vois d'abord que les deux premiers cas n'ont pas lieu pour ce binome, puifque 1° l'expofant total

n'eft pas un nombre entier, puifque 2. h x3 d x ne contient pas la différentielle de a+bx2. Mais je vois auffi qu'en ajoutant une unité à l'expofant 3 de x hors du binome, je le divife exactement par l'expofant 2 de x dans le binome, & que cette divifion me donne pour quotient un nombre entier pofitif. Je conclus donc que ce binome eft intégrable; & pour parvenir à cette intégration, je procede en la maniere fuivante.

1o. Je fais a+b x2 = y; ce qui me donne x2 = g=a

2o. Comme x3 dx eft, à un multiplicateur conftant près, la différentielle de x4, & quea= x2, je con

clus que x4

I

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d

2

b

je conclus encore que 4x3 dx=2x

xy; donc 4x3 dx = 2x27x dy; donc

b

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b

b

266

b

3°. Subftituons dans le binome propofé les nouvelles valeurs de x3 dx & de a + b x2

4

nous

h(ya) dy × y3 = h x3 d x x ( a + b2x2 ) } .

26b

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aurons

c'est

à-dire, qu'en intégrant le dernier membre de cette équation par la regle fondamentale, j'intégre par-là même le

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+1x2bb 14 x 2 b b 2 x 2 b.b

y = a + bx2, donc l'intégrale du binome propose fera ( a + bx2 ) 14 — sha ( a + bx2)}.

sh 28bb

2

18bb

REMARQUE

III.

Lorfque les différentielles complexes échapent aux cas que nous venons d'examiner , on les intégre par approximation, c'est-à-dire, on convertit en fuite infinie la quantité propofée; & comme cette fuite eft compofée d'une infinité de monomes dont la valeur va toujours en diminuant, on trouve la valeur fuffifante de l'intégrale, en intégrant par la regle fondamentale les 5 à 6 premiers termes de la fuite.

Si l'on propose, par exemple, d'intégrer le binome dy (1—yy); je vois d'abord qu'il n'est pas du nombre des binomes qu'on peut intégrer exactement. Je le réduis donc en fuite infinie; & pour faire cette réduction, je me fers de la formule générale par laquelle on éleve un binome quelconque a+b à une puiffance quelconque, pofitive, négative, fractionnaire &c. Cette formule fait (a±b)" = a* ± m am ~ 1 b + 1.2

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1

de la formule de& la lettre byy.

myy+

m.m-I

m1.m2

Ι 2 •

3.4

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{ y2 = 1 + y2.

2

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34

y6 =

あに、

m.m

y = 1 yo.

5o. +

I 2

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I

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m. .m - I. m

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3

m

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2

yo

2.m

3.4

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y8 &c. Donc (1-yy )

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y2 + } y+ + // yo + 35 y3 &c; donc dy (1—yy)

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1287

3

5

y2 dy +y+ dy + // yo dy +

35

128

6o. J'intégre, par la regle fondamentale, chaque terme de cette fuite, & je trouve y + y2 +

35

3

40

+ 2y + 1/2 y? &c. pour valeur fuffifante de la

1132

quantité finie dont_dy (1-yy ) est la diffé

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REMARQUE IV.

Comme les conftantes n'ont point de différence, une intégrale, jointe par le figne + ou avec une conftante, donne la même différentielle, que donneroit cette intégrale, fi elle étoit fans conftante. Le binome > x±a, & le monome x ont la même différentielle dx. On n'est pas donc fûr, lorfqu'on retrouve l'intégrale d'une différentielle, d'avoir cette intégrale exacte. Il faut fouvent lui ajouter ou en retrancher une conftante; & cette conftante a une valeur que l'état de la queftion détermine lorfque l'intégration fe fait dans la vue de réfoudre quelque problême de géométrie. Si je veux trouver, par exemple, par le calcul intégral la quadrature de l'efpace parabolique APM, fig. 48 pl. 3, compris entre l'ordonnée PM y, l'abfciffe PA=x, & l'arc M A d'unë parabole quelconque, voici comment je procéde.

1o. Je tire p m infiniment près de PM; je tire encore MR parallele à Pp, & dans le trapeze infiniment petit du premier ordre PM pm, je néglige le triangle infiniment petit du fecond ordre M R m afin d'avoir le rectangle infiniment petit du premier ordre P Mp Rydx, parce que P M p R = y, & Pp=dx.

2o. Je remarque que le rectangle PM p R eft la différentielle, ou une partie infiniment petite de l'efpace parabolique APM; donc quarrer l'efpace APM, c'est intégrer y dx.

3o. L'équation à la parabole eft yy = px, dont la différence eft 2 ydy pdx, à caufe de la conftante p; donc dxdy; donc ydx 2 y2 dy; donc intégrer

2

P

=

P

2 y2 dy, c'est par-là même intégrer y d x:

P

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est 2 y2 + 1 dý
3 pxdy

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2pxy

3P

3 P

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= xy;
xy; donc l'efpace

parabolique APM fera égal aux d'un rectangle qui

auroit

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