auroit pour bafe l'ordonnée PM & pour hauteur l'abfciffe P A. 5o. Dans la folution du problême précédent l'origine des x eft au fommet A; auffi l'efpace APM devenant o, lorfque l'on fait xo, n'y-a-t'il aucune conftante à ajouter ou à retrancher, pour que l'intégrale x y donne la quadrature que l'on cherche. Mais fi l'on prenoit l'origine des x au point F, & que l'on fit FP, l'intégralexy donneroit la quadrature de l'efpace FPCM, parce que le rectangle PM p R eft réellement la différentielle de cet efpace; mais elle ne donneroit pas la quadrature de l'efpace AP M. Pour l'avoir, il faut ajouter,. à l'intégralexy une conftante C dont la valeur fera l'aire de l'efpace parabolique A FC. Dans cette hypothefe l'efpace FCPM a beau devenir o, c'est-à-dire, l'on a beau faire xo, l'efpace AP M ne le devient pas ; donc l'efpace FCPM eft égal à l'efpace A PM dont on on aura ôté la valeur de la conftante C, c'est-à-dire l'efpace FCPM eft égal aux d'un rectangle qui auroit pour base l'ordonnée PM & pour hauteur la ligne AP, compofée de la conftante AF & de l'abfciffe FP, moins les d'un rectangle qui auroit bafe FC, & pour hauteur la constante A F. pour De tout ceci l'on conclut avec raifon que, pour connoître la grandeur conftante qu'il faut ajouter à une intégrale, ou en retrancher, pour avoir la folution complete du problême propofé, il faut fuppofer la grandeur changeante x de l'intégrale trouvée = o ; & fi l'efpace que l'on cherche devient o par cette fuppofition, c'est une marque que l'intégrale eft complete, & que le problême eft réfolu. Mais fi après la fuppofition de xo, l'efpace que l'on cherche ne devient pas o, c'eft-à-dire, s'il refte une conftante dans l'intégrale trouvée, il faut la joindre avec un figne contraire à cette intégrale, & elle deviendra par-là l'intégrale complete qu'on cherchoit. Suppofons que dxx(x+a)3 soit la différentielle d'un espace quarrable. b L'intégrale de cette différentielle est ( x + a } ( x + a ) } . d x ( x − a ) - +1xdx Pour favoir fi l'intégrale trouvée eft complette, je fais 3 3 x = o ; & comme il me refte ++ a2, je conclus que l'efpace dont il s'agit, n'est pas ( x + a ( x + a )2 — { a2. + 2) DE ; mais L'INTEGRATION Des quantités à plufieurs variables. Lorfque l'intégration des différentielles à plufieurs variables eft poffible, on doit fe fervir de la méthode fuivante. 1o. Raffemblez tous les termes affectés de la différentielle d'une même variable, & intégrez-les comme s'il n'y avoit dans la quantité propofée d'autre variable que celle-là, c'est-à-dire, regardez les autres variables comme conftantes. 2o. Différentiez l'intégrale trouvée, en faifant varier fucceffivement toutes les variables, & retranchez ce réfultat de la différentielle propofée. S'il ne refte rien après la soustraction, l'intégrale trouvée eft précisément celle que l'on cherche. 30. Si après la fouftraction il fe trouve quelque refte, intégrez ce refte, & ajoutez cette nouvelle intégrale à celle que vous avez d'abord trouvée; vous aurez par cette addition l'intégrale que vous cherchez, fuppofé que l'intégration exacte de la quantité propofée foit poffible. Problême z. Intégrer la quantité différentielle 3y x2 d x +x3 dy + 5 x y + dy + y dx? Refolution 1. Raffemblez les deux termes 3y x2 d x +ys dx, parce que ce font les deux feuls affectés de d x. 2o. Intégrez ces deux termes, en regardant y comme y' x. Je dis que c'eft là l'intégrale complette de la différentielle propofée. Demonftration. En fuppofant x & y variables, la différentielle de y x3 + y5 x eft 3 y x2 d x + x3 dy + Sx y 4 dy + ys d x. Mais c'est-là la différentielle propofée; donc &c. Corollaire. On auroit eu le même réfultat en raffemblant les deux termes affectés de dy, & en regardant x comme conftant. En effet dans cette hypothefe l'intégrale sxy dy de x3 dy + 5 x 14 dy est x3 + x y 5 = y x2 + y2 x. 4+ 1xdy Problême z. Intégrer la quantité différentielle x3 dy +3ỷ x2 dx+x2 d z + 2 z x d x + x dx + y2 dy? Refolution 1. Raffemblez les trois termes affectés de la différentielle dx; ce font 3yx2 d x + 2 z xd x xdx. 2o. Intégrez ces trois termes en regardant y & comme 2 + 1xd x = y x3 + 7 x2 + 1⁄2 x2. 3o. Différentiez l'intégrale trouvée, en faifant varier fucceffivement x, y, z, vous aurez 3 y x2 d x + x3 dy + 2 zxdx+x2 dz + x d x. 4°. Otez cette différentielle de la différentielle propofée, il reftera y2dy. 2 + I 2+1xdy y3. 6o. Ajoutez cette intégrale à l'intégrale trouvée num. 2; vous aurez y x3 + z x2 + { x2 + ¦ μ3. Je dis, que c'eft là l'intégrale complette de la différentielle propofée. Démonftration. En fuppofant x, y, variables, la différentielle de y x3 + z x2 + 1 x2 + 7 y3 eft 3y x2 dx + 2 x3 dy + 2 z x d x + x2 dz + x d x + y2 dy. Mais c'est-là la différentielle propofée; donc &c. Corollaire z. On a abrégé l'opération en prenant les termes affectés de dx, parce que ce font les feuls où se trouvent les trois variables x, y, z. En effet dans les termes affectés de dy, il n'eft pas fait mention de 2, & dans le terme affecté de dz, il n'eft pas fait mention de y. On auroit eu cependant le même résultat, non feulement en commençant par prendre les deux termes affectés de la différentielle dy, mais encore en commençant par prendre le terme affecté de la différentielle dz. 1o. Prenons d'abord les 2 termes affectés de la différentielle dy, ce font x3 dy+y2 dy, & intégrons-les en. regardant comme variable le feul y; nous aurons x3 y 23. 2o. Différencions l'intégrale trouvée, en faisant varier fucceffivement nous aurons 3 dy + 3y x2 d x +y2dy. y & x 3. Otons cette différentielle de la différentielle fée, il reftera x2 dz + 2 z x d x + xdx. zx propo 4°. Prenons maintenant les 2 termes affectés de d ce font 27 x dx + xdx, & intégrons-les en regardant le feul x comme variable; nous aurons 2+, qui · ont pour différentielle x2 dz+2 zxdx + xdx, en faifant varier fucceffivement x & 7• 2 2 2 2 I 5°. Ajoutons zx2 + à l'intégrale trouvée num. z, nous aurons pour l'intégrale complette x3y+y3 + { x2 + ¦ x2; c'eft-à-dire, qu'en commençant par prendre les termes affectés de la différentielle dy nous avons le même réfultat, qu'en commençant par prendre les termes affectés de la différentielle dx. Il nous refte maintenant à commencer l'opération en prenant le terme affecté de la différentielle d; c'est x2 d z• 1°. Intégrons ce terme en regardant le feul comme variable, nous aurons x2 7. 2 2o. Différencions cette premiere intégrale, en faisant varier fucceffivement x &, nous aurons x2 dz + 2 z xdx. 3o. Otons cette différentielle de la différentielle propofée, il nous reftera 3 y x2d x + x d x + x3 dy + y2dy, 4°. Dans ce restant prenons les termes affectés de dx, & intégrons-les en regardant le feulx comme variable, nous aurons yx3 + 1⁄2 xx. 5°. Différencions cette feconde intégrale, en faisant varier fucceffivement y & ; nous aurons x3 dy + 3y x2dx xdx. 6o. Otons cette différentielle de la différentielle de num. 3, il restera y2 d y. 7o. Intégrons y2 dy, nous aurons y3. 2 8°. Ajoutons les intégrales trouvée num. 1, 4, 7, nous aurons x2z+yx2 + 1⁄2 x2 + ÷ y3, c'est-à-dire, que par quelque terme qu'on commence l'opération du problême 20, l'on a toujours le même résultat. Corollaire 2. En examinant la quantité différentielle qui a fait la matiere du problême 1, j'ai vu qu'on pouvoit d (3yx2) former l'équation différentielle fuivante d (ys) dy x dy d (x3 ) + d ( 5 * y*), supposé que dans le dx pre mier membre de cette équation on ne faffe varier que y, & dans le fecond membre on ne faffe varier que x. que En effet l'équation dont il s'agit, devient 3** dy + 5y+dy 3 x dx 574 dx dy 2 d x + d x ; dy 2 elle devient donc 3x2+5y4 = 3x2+5y4; donc la quantité différentielle 3 y x2 dx + y5 d x + x3 dy + 5 x y 4 dy donne non feulement une équation proprement dite, mais encore une équation identique; c'est même cette équation identique que l'on doit regarder comme une marque infaillible d'intégration. Auffi, avant que de tenter d'intégrer une quantité diffé 1 |