rentielle à plufieurs variables, il eft bon d'examiner fi elle donne une ou plufieurs équations identiques. Il s'agit maintenant de démontrer que la quantité différentielle 3y x2 d x + y2 d x + x3 dy + 5 x y + dy n'eft exactement intégrable, que parce que je forme une d (3yx') d (y) équation identique en difant dy dy d ( x1 ) + d ( ≤ x y * ) : voici cette démonstration en peu d(xy); d x de mots. d x Si la quantité différentielle 3 y x2 dx + y5 d x + x3 dy +5xy dy, compofée des deux variables x, y, eft exactement intégrable, je dois avoir la même intégrale, foit que je commence à confidérer y comme variable, foit que je commence à confidérer x. Mais fi je forme une d(3yx2) d (y') équation identique en difant dy dy d ( x3) +d(xy), c'est une preuve que j'aurai la même dx dx. 2 intégrale, foit que dans la quantité différentielle 3 y x2 d x +ys dx + x3 dy + 5 xy4 dy, je commence par faire varier y, foit que je commence par faire varier x. En d (3yx2) effet dans le premier membre de l'équation d (y) d ( x 3) 3 dy d x + d ( 5 x y + ), d x dy je fais varier y, & dans le fecond membre de la même équation je fais varier x ; donc la quantité différentielle 3y x2 d x + y2 d x+x3¿y +5xy4dy n'eft exactement intégrable, que parce que je forme une équation identique en difant d ( y ) = d ( x ) + d ( 5 x ya ) y3 dx Corollaire 3. Des deux quantités différentielles + xy2dy & xy dx + 2 x dy la premiere eft inté grable, & la feconde ne l'eft pas. En effet fére pas de celle-ci y' dy = y' d x dy dx. Intégrons maintenant y3 dx + xy'dy. Pour en venir à bout, je prens y3 dx que j'intégre, en regardant le feul x comme variable, & j'ai y3 x. Je différencie enfuite cette intégrale en faifant varier fucceffivement x & y; je trouve y3 d x + } x y2 &y= { y3 d x + xy2dy. J'ôte enfin la différentielle trouvée de la différentielle donnée: & comme il ne refte rien, je conclus que y3 x eft l'intégrale complette de y3 d x + x y2 dy. 2 J'aurois eu le même réfultat en prenant x y dy, & en regardant le feul y comme variable. Corollaire 4. La quantité différentielle à 3 variables yzdx + xzdy + xydz est exactement intégrable, d (yr) parce qu'elle fournit les équations identiques dy |_ d ( xy ) d (yr) dy dz Et d'abord il n'eft aucune de ces équations qui ne foit identique. La premiere (1) dans le pre mier nombre de laquelle on fait varier le feul y & dans le fecond membre de laquelle on fait varier le feul x, zdy z d x L'équation d ( x 7 ) __ d ( xy ) dans le premier membre de laquelle on fait varier le feul 7, & dans le fecond. membre de laquelle on fait membre de laquelle on fait varier le feul, & dans le fecond membre de laquelle on fait varier le feul x, donne dz dx Si je veux maintenant intégrer la quantité y d x + xzdy + xydz, je prens l'un des trois termes, par exemple ydx, & je l'intégre en regardant le feul x comme variable, je trouve pour intégrale y ¿x. Je différencie enfuite yx, en confidérant fucceffivement comme variables y, z, x; je trouve yz d x + y x d z + xzdy. Je fouftrais enfin la différentielle trouvée de la différentielle donnée; & comme il ne refte rien, je conclus que zx eft l'intégrale de y z dx+xzdy + xydz. そ Corollaire 5. Puifque la quantité différentielle x dy + y dx + zdy + ydz donne les équations identiques d ( x ) ď (y) & d (7) d(y), je conclus qu'elle est dx dy dz = dy exactement intégrable. Pour faire cette opération, je prens lęs 2 termes affectés de dy, ce font xdy+zdy ; & je les intégre en regardant le feul y comme variable, j'ai x y + zy. Je différentie cette intégrale, en regardant fucceffivement x, y, comme variables; & je trouve xdy + y dx + z dy + ydz. Je fouftrais cette différentielle de la différentielle propolée; & comme il ne refte rien, je conclus que x y + zy eft l'intégrale de xdy+ydx+zdy + ydz. 2 Remarque. Quoique la quantité différentielle x3 dy + 3yx d x + xả dĩ + 2{xdx+xdxydy foit exactement intégrable, puifque fon intégration a fait la matiere du problême 2; elle ne donne cependant que deux équations identiques, au lieu de trois qu'elle devroit naturellement donner. Les 2 équations identiques font · d ( x3) d(3yx').d(x2) d(2) Mais les 2 ter& dz dx dy d x mes x dx & y2 dy, de quelque maniere qu'on s'y prenne, ne conduiront jamais à une équation identique. Cela vient fans doute de ce que la quantité différentielle dont il s'agit, ne peut s'intégrer que par deux opérations; & que les quantités différentielles qui donnent des équations identiques, s'intégrent à la premiere opération. Revenez fur les problêmes 1 & 2, & vous fentirez la jufteffe de cette remarque. Problême 3. Intégrer la différentielle binome dx+dy x (x + y)? Resolution. 1°. Multipliez x + y par dx+dy, vous aurez xdx+xdy + y d x + ydy. 2o. Prenez les 2 termes affectés de dx, ce font xdx +ydx. 30. Intégrez ces deux termes, en regardant le feul x comme variable; vous aurez + y x. x2 4°. Différenciez cette intégrale, en regardant fucceffivement x & y comme variables, vous aurez xdx+ y dx + xdy. 5°. Otez cette différentielle de la différentielle donnée, vous aurez y dy. 6o. Intégrez y dy, vous aurez y2 7°. Ajoutez cette intégrale à l'intégrale trouvée num. 3, Vous aurez x2 + yx + ; je dis que c'est-là l'intégrale 2 y2 2 exacte de la différentielle binome propofé. x2 Demonftration. En fuppofant x & y variables, la difféy2 rentielle de +yx + est x dx+y dx+xdy+ ydy. Mais c'eft-là la différentielle propofée; donc &c. 2 2 Il n'eft pas néceffaire de faire remarquer ici que la quantité différentielle xdx + xdy + ydx + y dy ne donne pas autant d'équations identiques que devroit naturellement en donner une quantité exactement intégrable; cette quantité ne peut pas s'intégrer par une feule opération; nouvelle preuve de la jufteffe de la remarque que nous avons faite un peu plus haut. Remarque. Il faut dire des différentielles binomes à plufieurs variables ce que nous avons dit des différentielles binomes à une feule variable. Puifque dx + dy eft la différentielle exacte du binome xy, l'on aura l'intégrale de ce binome en ajoutant une unité à fon expofant, & en le divifant par fon expofant ainfi augmenté, & par fa différentielle. L'intégrale de d x + dy × (x+y)1 est donc dx+dy x ( x + y )2 (x+y)2 yx + 1, comme +y Corollaire z. L'intégrale de dx + dy× ( √x + y) dx + dyx (x + y) eft; (x + y). Corollaire 2. L'intégrale de 2 a d x + 2 b d y × (ax+by)— xyz. 2 × ( a x + by )ž xdy + y d x eft par-là même xdy+ydxx(x) 2 x x xdy + y d x × Corollaire 4. En général l'intégrale de xdy+y dx x У Demonftration. Il eft démontré dans le calcul différentiel que la différentielle d'une fraction quelconque eft égale à la différentielle du numérateur multipliée par le denominateur, moins la différentielle du dénominateur |