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dy

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dx

exac

rentielle à plusieurs variables, il est bon d'examiner si elle donne une ou plusieurs équations identiques.

Il s'agit maintenant de démontrer que la quantité différentielle 3 y r2 dx + y) dx + x3 dy + 5 x y4 dy n'est exactement intégrable, que parce que je forme une

d ( 3 yr")

d (gee ) équation identique en disant

dy d(x')+(5*y*): voici cette démonstration en peu. de mots.

Si la quantité différentielle 3 y x2 dx + ydx+*3dy +5 x yt dy, composée des deux variables x

, y,

eft tement intégrable, je dois avoir la même intégrale , soic que je commence à considérer y comme variable, soit que je commence à considérer x. Mais si je forme une

d ( 3 yr?)

(y) équation identique en disant

dy

dy d (x3) d( 5xyo?, c'est une preuve que j'aurai la même intégrale, soit que dans la quantité différentielle 3 y +ys dx + x3 dy + 5 x yt dy, je commence par

faire soit que je commence par faire varier x. En

d ( 3 y*?) effet dans le premier membre de l'équation d (y) d ( x?) d ( 5 xy+)

, je fais varier y, & dans dy le second membre de la même équation je fais varier x ; donc la quantité différentielle 3 y *2 dx+ydx + x3dy +5xy4 dy n’est exactement intégrable, que parce que

d ( 3 yx) je forme une équation identique en disant

dy d (35) d ( x ) d (5 x y4)

* Corollaire 3. Des deux quantités différentielles y3 dx 4 x ya dy & xy dx + 2 x d y la premiere eft intégrable , & la feconde ne l'est pas. En effet dy) = 2(x,y) est une équation identique, puisqu'elle ne dif

d x

dx

varier y ,

dy

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d x

dx

d

dy

d x

d x

dy

dx

dy

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2 d x

X.

fére pas de celle-ci

y'd x
me dy
d y

d x. Au contraire l'on ne peut pas dire :(*9) = (25)

xdy parce que l'on ne peut pas dire

dy dx Intégrons maintenant į y3 dx + xyzdy. Pour en venir à bout , je prens í y} dx que j'intégre , en regardant le seul x comme variable , & j'ai į y3

Je différencie ensuite cette intégrale en faisant varier successivement x & y; je trouve y3 dx + xyzdy= {y} dx + xyzdy.

J'ôte enfin la différentielle trouvée de la différentielle donnée : & comme il ne reste rien, je conclus que s y3 x est l'intégrale complette de í y3 dx + xyz dy.

J'aurois eu le même résultat en prenant x y? dy, & en regardant le seul y comme variable.

Corollaire 4. La quantité différentielle à 3 variables Y?dx + xzdy + xy dz. eft exactement intégrable ,

d(y) parce qu'elle fournit les équations identiques

dy d(31) 2(30)

d ( xy)
d (y 7 )

d ( xy)
= ).=

dz Et d'abord il n'est aucune de ces équations qui ne soit

d() identique. La premiere mier nombre de laquelle on fait varier le seal y. & dans le second membre de laquelle on fait varier le seul x,

&z=7 dy

d (*) L'équation

d(xy) dans le premier membre

dy de laquelle on fait varier le seul 7, & dans le second, membre de laquelle on fait varier le seul y,

donne, .xd? Enfin l'équation (70=+(**) dans le premier

dz

dx membre de laquelle on faic varier le seul 7, & dans le

dx

dx

d(x) dans le pre

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zdx

donne ?dy

d x

dy & x= x.

dy

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d x

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second membre de laquelle on fait varier le seul x, donne

= Si je veux maintenant intégrer la quantité y z dx + xzdy+xy dz, je prens l'un des trois termes, par exemple, yydx, & je l'intégre en regardant le feul x comme variable, je trouve pour intégrale y 7x.

Je différencie ensuite y zx, en considérant successivement comme variables y , {, *; je trouve y zdx + go xid? + xzdy.

Je soustrais enfin la différentielle trouvée de la différentielle donnée; & comme il ne reste rien, je conclus que 32 x est l'intégrale de yzdx+xzdy + xydz.

Corollaire 3. Puisque la quantité différentielle x dy + ỹ dx + zdj + ydz donne les équations identiques d(x) d (y)

&

d(y), je conclus qu'elle est dy dz exactement intégrable. Pour faire cette opération, je prens lęs 2 termes affectés de dy, ce sont xdy +zdy ; & je les intégre en regardant le seul y comme variable , j'ai *y try

Je différentie cette intégrale, en regardant successivement x, y, { comme variables ; & je trouve x dy et y dx -+7 dy + ydz.

Je soultrais cette différentielle de la différentielle propolée ; & comme il ne refte rien , je conclus quexy+zy est l'intégrale de xdy + ydx.+zdy + ydz.

Remarque. Quoique la quantité différentielle *} dy + 3 yx2 dx + x?dz + 27 xd x + xdx + y2 d y soit exactement intégrable, puisque son intégration a fait la inatiere du problême 2 ; elle ne donne cependant que deux équations identiques, au lieu de trois qu'elle de vroit naturellement donner. Les 2 équations identiques font d ( x ) dy) ?

d (27*). Mais les 2 terdy

di mes x dx & ya dy, de quelque maniere qu'on s'y prenne, ne conduiront jamais à une équation identique. Cela vient

& d (te)

dx

d x

+ y x.

2

fans doute de ce que la quantité différentielle dont il s'agit , ne peut s'intégrer que par deux opérations ; & que les quantités différentielles qui donnent des équations identiqu:s, s'intégrent à la premiere opération. Revenez sur les problèmes 1 & 2, & vous sentirez la justesse de cette remarque.

Probleme 3. Intégrer la différentielle binome dx+dy x(x + y )?

Resolution. 1°. Multipliez x + y par dx + dy, vous aurez xdx + x dy-ty dx + ydy:

2o. Prenez les 2 termes affectés de dx , ce sont xdx +yd x.

3o. Intégrez ces deux termes , en regardant le seul x comme variable ; vous aurez

4o. Différenciez cette intégrale , en regardant fucceffivement x & y comine variables, vous aurez xdx+ ydx + xdy.

50. Orez cette différentielle de la différentielle donnée vous aurez ydy.

gue 6o. Intégrez ydy, vous aurez 7o. Ajoutez cette intégrale à l'intégrale trouvée num. 3,

* + yx + ; je dis que c'est-là l'intégrale exacte de la différentielle binome proposés.

Demonstration. En supposant x' & y variables, la différentielle de + yx + y est x dx + ydx + xdy+ ydy. Mais c'est-là la différentielle proposée; donc &c. il n'est pas nécessaire de faire remarquer ici

que

la quantité différentielle xdx + xdy + ydx + ydy ne donne pas autant d'équations identiques que devroit naturellement en donner une quantité exactement intégrable; cerce quantité ne peut pas s'intégrer par une seule opération ; nouvelle preuve de la justelle de la remarque que Rous avons faite un peu plus haut.

Remarque. Il faut dire des différentielles binomes à

vous aurez

2

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3

plusieurs variables ce que nous avons dit des différentielles binomes à une seule variable. Puisque dx + dy est la différentielle exacte du binome x+y, l'on aura l'intégrale de ce binome en ajoutant une unité à son exposant , & en le divisant par son exposant ainsi augmenté, & par fa différentielle. L'intégrale de dx + dyx (x+y)' est donc dxtdyx (x+y). (x+y)?

=+

ge

.

to yx+ 2 xd x-t dy

comme nous l'avons déja trouvé.

Corollaire z. L'intégrale de dx + dyx ( Vx+y) = ***dy*(x+y)i estį (x+y) ?

Corollaire 2. L'intégrale de 3 adx+2bdy x(ax+by)—

2 a dx+2bdyx (ax+by)-+1 2x(ax+by) eft

-+ixadx + bdy =4* ( ax+by).

x dy tyd x Corollaire 3. L'intégrale de

2xxy? xdy+yd xx( * y)

xdy+yd xx (xy) est par-là même

2xxxdy+ydx x yž

. Corollaire 4. En général l'intégrale de xdy+ydx x x x y

(xy) in
+ I x x dy-tyd x
+

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mtn

(xy) est *dy+ydxx(xy)p+1

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n

m+n

ху

Probleme

yd x-xdy?
Trouver l'intégrale de
4.

Уу
Résolution. L'intégrale demandée est la fraction.

Demonstration. Il est démontré dans le calcul différentiel que la différentielle d'une fraction quelconque est égale à la différencielle du numérateur multipliée par le denominaceur, moins la différentielle du dénominateur

у

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