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eft

yy

уу

d x2

2

d. x2

2

2

2

2

multipliée par le numérateur, le tout divisé par le quarré

ydx - xdy du dénominateur. Donc la diférentielle de 5

y dx – x d y donc l'intégrale de

est
tout

go Problême 3. Trouver l'intégrale de la différence leconde dx d d x?

Resolution. L'intégrale de la différence seconde dxddx est;d 2 = Demonstration.

dxxdx. Or il est démontré dans

dxxda le calcul différentiel que la différentielle de dxdd xdxddr 2 d x d d x

dxd dx ; donc d x2 est l'intégrale de dxd dx; ce qui prouve que les différences premieres sont les intégrales des différences secondes.

Corollaire z. Par la même raison ydy est l'intégrale de dy2 + yddy. En effer ydy=yxdy. Or la différentielle de yxdy=dyxdy + yddy=dy? + yddy ; donc ydy est l'intégrale de d yo + yddy.

Par la même raison encore y dx + xdy est l'intégrale de y ddx+xddy + 2 d x dy. En effet différencions y dx +xdy, nous aurons dydx +ydd x + dx dy + xddy =ydd x 4 xddy + 2 dxdy, donc &c.

Remarque. Si l'on eût proposé de trouver l'intégrale de yddx + xddy-+2dxdy, il auroit d'abord fallu prendre yddx, & l'intégrer en considérant le seul ddx comme) variable ; vous auriez trouvé y dx pour premiere intégrale.

Il auroit ensuite fallu différentier yd x, en considérant successivement y & dx comme variables ; vous auriez trouvé dy d x toy.dd x.

Il auroit enfin fallu soustraire dy dxtydd x de yddx + xddy+2 d x dy; il vous auroit resté xddy + dxdy, & la premiere opération auroit été faite.

Pour la seconde opération, vous auriez pris xddy, dont l'intégrale est xdy, en considérant le seul ddy comme variable.

Vous auriez ensuite différencié xdy, en considérant successivement * & dy comme variables ; vous auriez trouvé d x dy to xddy.

Vous auriez enfin soustrait cette différence de celle que vous aviez eu de reste après la premiere opération ; & comme vous n'auriez pas eu un troisieme reste , vous auriez conclu que les 2 intégrales trouvées par vos deux opérations , c'est-à-dire ydx + xdy, étoient l'intégrale complette de y ddx + xddy + 2 dxdy, c'est-à-dire que l'on trouve les intégrales des secondes différences à plusieurs variables précisément par la même méthode que l'on intégre les premieres différences à un pareil nombre de variables. Relisez les problêmes précédents & vous sentirez la justesse de cette remarque.

Problême 6. Trouver l'intégrale de m m - m 2 - 2 d.x2 + middx.

Résolution. L'intégrale de la différence seconde proposée est m x" — 1 d x; c'est-à-dire, que l'on a l'intégrale demandée, en prenant le dernier terme du binome propole, dans lequel on intégrera le seul dd x.

Démontration. Il est démontré dans le calcul différentiel que la différence de m tom

idx est mm dx*-+-mx*-'ddx ; donc m 4.7 -1dx est l'intégrale de la différence proposée.

Corollaire z. Par la même raison 3 x dx est l'intégrale de 6 xdx2+3x ddx; ce qui prouve que pour intégrer 6 xdx? +- 3x2 ddx, il fuffit de prendre le second terme du binome proposé , & d'intégrer le seul dd x.

Tout ce qu'on pourroit demander ici, ce feroit de prouver que 3x* dx a pour différence 6 xdx* +3xd d x. La preuve n'en est pas difficile.

3 x* dx=3x3xd x. Or la différence de 3 x?xd x est égale 1°, au produir de dx multipliant la différence de 3*°, 2°. au produit de 3** multipliant la différence de

т хт

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Уу

dx; donc la différence de 3 x2 x dx=d xx 6 x2 -10% +3x2 ddx=6x d x2 + 3 x* d d x.

Corollaire 2. Par la même raison encore 2 x d x est l'intégrale de 2 d x2 + 2 x d d x. Ce qui prouve toujours que pour intégrer 2 d x* + 2 xddx, il suffit de prendre le second terme du binome proposé, & d'intégrer le feul dd x.

Que 2 x dx ait pour différentielle 2 dx2 + 2x d d x, la chose est de la derniere évidence. En effet 2 xdx a pour différentielle 2 d x dx + 2 x d d x; il a donc 2 d x? + 2 x d d x.

Probleme 9. Trouver l'intégrale de y: dd x-*y yddy— 2 yyd y dx+2* ydy??

Résolution. L'intégrale demandée est la fraction y dix-xdy, dans laquelle on fuppose toutes les quantités variables. Démonstration. Le calcul différentiel apprend que la

y dx - xdy fraction

a pour différentielle, en la fuppo sant toute composée de quantités variables , yydydx+yid d x-yydxdy—xyyd dy—2 yyd y d x+2xyd y?

gt elle a donc pour différentielle , en ôtant les quantités qui se détruisent, gidd x ---- x y yddy — 2 yyd y dx+ 2 x ydy;

y+

yd x-xdy donc la fraction

est l'intégrale de la différen

JY tielle proposée.

ydx-xdy, dans la suppoCorollaire 2. La fraction sition que dx foit regardé comme constant , est encore l'intégrale de 2x y d y − 2 yydyd x - x y yddy

y4 Corollaire 2. Si l'on suppose dy constant, la même fraction est l'intégrale de 38 d d = — 2 y y d ydx + 2x y d y'.

уу

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уу.

34

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3

Problême 8. Trouver l'intégrale de aadx'+-aaxddx-4riddi

autxX?

* d x Résolution. L'intégrale demandée est Démonstration. On apprend dans le calcul différentiel

x dx que la différentielle de

est

Vaa
Vaa+*xx(dx +*dd x ) - dire

Vaa-+ x x

.

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Fin du Traite' Élémentaire sur le Calcul Integral.

On nous a encore fait remarquer une faute qui se trouve à la page 188 de notre Guide. Nous y avançons que la différence de la fraction eft yd x—*dy

уу. le prouvons par

le calcul fuivant :

yd x-xdy, & nous

у

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Dans ce calcul la fixieme équation est fausse

, parce que dy étant une quantité infiniment fimple, l'on ne peut pas dire dy =dxy; c'est la remarque du digne Succelleur de l'Abbé de la Caille, M. l'Abbé Marie Professeur de Mathématique au College Mazarin & Censeur Royal. Nous allons faire un autre calcul dont nous elpérons qu'il sera content.

- edyo

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8. de

I.

у
2. xty
3. dx = yde+ody.
4. ydi=dx

td y
s. de

у g 6. die

y dx

idy
y y у
y dr

x d y
7. dia

уу

yy y dx - xd y

y y Explication. La premiere équation est une pure supposition qu'il est impossible de ne pas admettre.

La seconde équation ne contient aucune difficulté.

La troisieme équation est fondée sur ce principe : si la grandeur x est égale à la grandeur ry, la différence de x fera égale à la différence de ty..

La quatrieme équation ne différe de la troisieme, qu'en ce que id y qui étoit dans un membre avec le signe + est passé dans l'autre avec le signe

On a eu la cinquieme équation en divisant par y les deux membres de la précédente.

d x Comme

yd x

la sixieme équation est évidemment y bonne.

Il en est de même de la septieme équation, parce que!=
La huitieme équation ne différe en rien de la feptieme;

y dx - xdy donc la différence de la fraction ;

уу

ᎩᎩ

y

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