du dénominateur. Donc la différentielle de multipliée par le numérateur, le tout divifé par le quarré x ydx- xdy yy dx xd x 2 le calcul différentiel que la différentielle de dx d d x d x d d x 2 d x d d x = d x d d x ; donc dx2 14 eft l'intégrale de dxddx; ce qui prouve que les différences premieres font les intégrales des différences fecondes. Corollaire z. Par la même raifon y dy eft l'intégrale de dy2+yddy. En effet ydy=yxdy. Or la différentielle de yxdy=dyxdy +yddydy2+yddy; donc ydy eft l'intégrale de dy+yddy. Par la même raifon encore y d x+xdy eft l'intégrale de y ddx+xddy + 2 dx dy. En effet différencions y d x +xdy, nous aurons dy dx + y d d x + dx dy + xddy =ydd xxddy +2dxdy, donc &c. Remarque. Si l'on eût propofé de trouver l'intégrale de y d d x + xddy +2 dxdy, il auroit d'abord fallu prendre yddx, & l'intégrer en confidérant le feul ddx comme) väriable; vous auriez trouvé y dx pour premiere intégrale. Il auroit enfuite fallu différentier ydx, en confidérant fucceffivement y & dx comme variables; vous auriez trouvé dy dx + y ddx. Il auroit enfin fallu fouftraire dy dx+yddx de y ddx +xddy + 2 dx dy; il vous auroit refté x ddy + dxdy, & la premiere opération auroit été faite. Pour la feconde opération, vous auriez pris xddy, dont l'intégrale eft xdy, en confidérant le feul ddy comme variable. Vous auriez enfuite différencié xdy, en confidérant fucceffivement x & dy comme variables; vous auriez trouvé dx dy + xdd y. Vous auriez enfin fouftrait cette différence de celle que vous aviez eu de refte après la premiere opération; & comme vous n'auriez pas eu un troifieme refte, vous auriez conclu que les 2 intégrales trouvées par vos deux opérations, c'est-à-dire y dx+xdy, étoient l'intégrale complette de y ddx+xddy + 2 dxdy, c'eft-à-dire, que l'on trouve les intégrales des fecondes différences à plufieurs variables précisément par la même méthode que l'on intégre les premieres différences à un pareil nombre de variables. Relifez les problêmes précédents & vous fentirez la jufteffe de cette remarque. Problême 6. Trouver l'intégrale de mmm xm — 2 dx2 + mxm-- I dd. x. Refolution. L'intégrale de la différence feconde proposée eft m xdx; c'eft-à-dire, que l'on a l'intégrale demandée, en prenant le dernier terme du binome propofé, dans lequel on intégrera le feul d d x. -I mxm. 2 Démonftration. Il eft démontré dans le calcul différentiel que la différence de m xm- dx eft mm ₫ x2 + m2x2TM — 1 d d x; donc m xdx eft l'intégrale de la différence propofée. Corollaire z. Par la même raison 3x2dx eft l'intégrale de 6 x d x2+ 3 x2 ddx; ce qui prouve que pour intégrer 6 x dx2 + 3x2 ddx, il fuffit de prendre le fecond terme du binome propofé, & d'intégrer le feul ddx. Tout ce qu'on pourroit demander ici, ce feroit de prouver que 3 de a pour différence 6x dx2+3x2d d x. La preuve n'en eft pas difficile. 3x2 dx=3x2x d x. Or la différence de 3x2x d x eft égale 10. au produit de dx multipliant la différence de 3x, 2. au produit de 3x multipliant la différence de dx; donc la différence de 3 x x d x = d x x 6 x2 — 1 d x +3x2 d d x = 6 x d x2 + 3 x2 d d x. Corollaire 2. Par la même raifon encore 2x dx eft l'intégrale de 2 dx2+ 2 xddx. Ce qui prouve toujours que pour intégrer 2 dx2+2x ddx, il fuffit de prendre le fecond terme du binome propofé, & d'intégrer le feul ddx. Que 2 x dx ait pour différentielle 2 dx2+ 2 x d dx, la chofe eft de la derniere évidence. En effet 2 xdx a pour différentielle 2 d x d x + 2 x d d x ; il a donc 2 d x2 + 2 x d d x. Problême 7. Trouver l'intégrale de y3ddx-xyyddy-2yydy dx+2xydy? y+ Refolution. L'intégrale demandée eft la fraction y dx-xdy, dans laquelle on fuppofe toutes les quan y y tités variables. fraction Démonftration. Le calcul différentiel apprend que la y dx-xdy a pour différentielle, en la fuppofant toute compofée de quantités variables, y y dydx+y3 d d x-yy dx dy-xyy ddy-zyyd y d x+2 x y dy2 y y elle a donc pour différentielle, en ôtant les quantités qui fe détruifent yddx-xy y ddy - 2yyd y d x + 2 x ydy2; eft l'intégrale de la différen dx-xdy, dans la fuppo y y fition que dx foit regardé comme conftant, eft encore l'intégrale de 2*ydy - zyyd y d x-xy y ddy y4 Corollaire 2. Si l'on fuppofe dy conftant, la même fraction est l'intégrale de y d d x 2 y y d y d x + 2 x y dy2 On nous a encore fait remarquer une faute qui fe trouve à la page 188 de notre Guide. Nous y avançons Dans ce calcul la fixieme équation eft fauffe , parce que dy étant une quantité infiniment fimple, l'on ne peut pas dire dy dxy; c'eft la remarque du digne Succeffeur de l'Abbé de la Caille, M. l'Abbé Marie, Profeffeur de Mathématique au College Mazarin & Cenfeur Royal. Nous allons faire un autre calcul dont nous efpérons qu'il fera content. Explication. La premiere équation eft une pure fuppcfition qu'il eft impoffible de ne pas admettre. La feconde équation ne contient aucune difficulté. La troifieme équation eft fondée fur ce principe: fi la grandeur x eft égale à la grandeur ty, la différence de x fera égale à la différence de ty. La quatrieme équation ne différe de la troifieme, qu'en ce que dy qui étoit dans un membre avec le figne + eft paffé dans l'autre avec le figne On a eu la cinquieme équation en divifant par y les deux membres de la précédente. Comme bonne. dx y dx la fixieme équation eft évidemment Il en eft de même de la feptieme équation, parce que t La huitieme équation ne différe en rien de la feptieme; y dx-xdy donc la différence de la fraction |