se trouve assujetti à subir l'une ou l'autre des cinq conditions suivantes :

1° Demeurer constant;

2o Converger vers une limite constante ou nulle; 3° Croître sans limites;

4° Osciller sans fin entre plusieurs limites distinctes; 5o Converger vers une limite qui dépende de la valeur attribuée à la variable x et change avec cette valeur.

On démontre aisément, qu'abstraction faite du cas particulier où la fonction y est linéaire et où la condition (1) se réalise d'une manière permanente, chacune des trois premières conditions n'est jamais possible que pour certaines valeurs de la variable, conservant entre elles des écarts déterminés. Quant à la quatrième condition, je ne pense pas qu'on s'en soit occupé jusqu'ici, ni surtout qu'on soit parvenu à démontrer, pour elle comme pour les trois premières, qu'elle est généralement impossible. De là une lacune regrettable, qui oblige à ne voir, dans le théorème exprimé par l'équation (1), qu'un résultat constaté pour certaines fonctions, et sur lequel il n'est pas permis de s'appuyer pour des déductions ultérieures, que dans les cas spéciaux où l'on en a vérifié, d'avance, la rigoureuse exactitude. J'ai entrepris la tâche délicate de combler cette lacune, et je crois y être parvenu, sinon aussi simplement que je l'aurais voulu, du moins avec toute la rigueur désirable, et sans recourir à d'autres notions que celles dont on a besoin en algèbre pour la résolution des équations du premier degré.

Arrivé à ce point, j'ai pu conclure que la condition (5) subsistait seule d'une manière générale et permanente. J'ai, en outre, établi que la fonction dérivée f'(x) limite du rapport f(x+h) f(x+h)-f(x) est elle-même continue, soit pour

toute étendue de l'intervalle où la fonction y = f(x) varie avec continuité, soit pour une suite de subdivisions comprenant dans leur ensemble toute cette étendue. De là résulte l'équation fondamentale

démontrée a priori, sans autre secours que celui des premières notions de l'algèbre, pouvant être prise pour base de tous les développements ultérieurs, apportant avec elle une ressource précieuse, jusqu'à présent interdite, offrant enfin une extrême facilité qui permet de pousser plus loin l'enseignement élémentaire, tout en lui imprimant une marche beaucoup plus rapide.

Je n'ignore pas que des élèves, à peine initiés aux spéculations algébriques, éprouveront en général une grande difficulté à bien saisir l'ensemble des propositions sur lesquelles se fonde la démonstration de cette équation. Toutefois, rien ne fait obstacle à ce qu'on y supplée par certaines inductions géométriques, ou, plus simplement encore, à ce qu'on pose en principe le théorème dont on a besoin, sauf à réserver, pour une époque ultérieure, la démonstration jugée d'abord trop difficile. Cette façon de procéder n'est pas absolument sans exemple dans l'enseignement mathématique. Aujourd'hui surtout l'on ne craint pas d'y recourir. Dans des cas de cette espèce, elle n'entraîne aucun inconvénient sérieux, et elle offre en réalité des avantages importants.

La difficulté que je viens de signaler est la seule qui se présente dans tout le travail dont je donne ici l'analyse.

L'objet du chapitre II est de définir la différentielle et

et observant l'invariabilité absolue du mode suivant lequel s'accomplit la génération simultanée des accroissements Ay et Ax, lorsque la fonction y est linéaire, je suis conduit à l'induction suivante :

Dans toute fonction continue et non linéaire

y = f(x),

la génération simultanée des accroissements Ay et Ax commence, en général, suivant une certaine raison de proportionnalité. Constamment variable avec x, cette raison de proportionnalité est exprimée par la valeur particulière que la dérivée f'(x) affecte à l'origine même des accroissements. Pour vérifier l'exactitude de cette induction et établir avec une rigueur complète les principes qui en dérivent, je procède par voie de synthèse. Je prends une fonction quelconque continue ? (x), et j'imagine que, pour chaque valeur affectée par la variable, elle exprime la raison correspondante, suivant laquelle commence la génération simultanée des accroissements Ay et Ax, y étant une fonction inconnue qu'il s'agit de déterminer d'après cette condition. Je démontre alors:

1° Que, si l'on désigne par le symbole M*+*(x) la limite vers laquelle converge la moyenne arithmétique,

à mesure que le nombre n devient de plus en plus grand, l'on a, en général,

2o Que, si l'on identifie avec la dérivée f'(x), la fonction (x), dont on dispose arbitrairement, l'accroissement Ay devient lui-même identique à celui de la fonction f(x).

De là résultent les déductions suivantes, toutes rigoureusement démontrées par voie de synthèse, et rendues, en quelque sorte, matériellement palpables à l'aide d'une construction géométrique purement élémentaire :

1o Dans tout intervalle, où la fonction non linéaire y=f(x) demeure continue, et quel que soit le point pris pour origine commune des accroissements Ay, Ax, c'est en général, suivant une certaine raison de proportionnalité, que commence la génération simultanée de ces accroisse

ments:

2 Cette raison de proportionnalité varie continuellement avec x, et elle est exprimée en chaque point par la valeur correspondante de la dérivée f'(x);

5° Lorsque l'on considère la raison de proportionnalité exprimée par f'(x), comme affectant, dans l'intervalle ▲x, toutes les déterminations successives qu'elle comporte, on a la loi variée qui régit le développement continu de la différence ordinaire ay.

On peut se placer à un point de vue différent et SUPPOSER qu'au lieu de varier dans l'intervalle Ax, la raison dont il s'agit conserve pour toute l'étendue de cet intervalle une seule et même détermination, celle qu'elle y affecte à l'origine. En ce cas on a la loi uniforme qui régit le développement continu de la différentielle dy;

4o A partir de toute origine commune, il y a identité absolue entre le mode transitoire suivant lequel commence la génération de l'accroissement effectif Ay et le mode permanent suivant lequel s'accomplit la génération de l'accroissement différentiel dy;

5° On conçoit que le mode uniforme, affecté par la différentielle, dans son développement continu, admette suivant les cas des énoncés divers. Cela posé :

Quel que soit l'énoncé fourni comme traduction équivalente de l'équation,

dy = f'(x). sx.

par cela seul que la condition exprimée a lieu d'une manière PERMANENTE ET INVARIABLE dans la génération de la différentielle, on peut affirmer, sans autre intermédiaire, qu'elle subsiste TRANSITOIREMENT à l'origine de l'accroissement effectif Ay;

5° Soit y une fonction inconnue de x qu'il s'agit de déterminer d'après les données suivantes :

« On sait qu'une grandeur incessamment variable et > exprimée numériquement par P(x) intervient dans la » génération continue de l'accroissement Ay.

» Si, au lieu de varier avec x dans l'intervalle Ax, la » grandeur z conservait la valeur quelconque a qu'elle > affecte à l'origine de cet intervalle (toutes choses restant » d'ailleurs les mêmes), on sait que, dans la génération › continue correspondante à cette hypothèse, on aurait en → général

sy = asx.

Cela posé, pour tenir compte à la fois de ces deux conditions, il suffit d'écrire

dy = (x). sx.