à, donc fi l'on fait A = 30°; fin A× fin B= 2 Rx fin B _cof(A-B) - cof(A+B) 2 2 d'où l'on tire fur le champ R× fin B=cos (30°-B) — cof( 30°+B) ou cos (30°+B)=cof (30° - B) fin B, ce qui fera connoître cof (30°+B), puifque l'on connoît B par l'hypotefe moindre que 30°. De même puis fin (A+B)+fin (A-B), on troufin Ax cofB= que 2 vera cof B-fin (30° + B) + fin (300-B), d'où l'on tire fin(30°+B) cof B-fin (30°-B); ce Corollaire fait voir comment on a pu construire aifément les Tables des finus & des cofinus. COROLLAIRE IV. 28. Si l'on fuppofe l'arc B fucceffivement égal à A, 2A, 3A, &c, on trouvera aifément par la formule du premier Problême les finus des arcs multiples. Pour cela fuppofant toujours que le finus de l'arc A eft défigné par s & fon cofinus par c, & repréfentant les finus & cofinus des arcs multiples par fin A, fin 2 A, fin 3 A, fin 4A, &c; fin n A on formera aifément les Tables fui Sin. 4A = (8 c3 - 4c) Vrr - cc. Sin. 5A=( 16 ct - 12 c2+1) Vrr- cc. Sin. 6A= (32 c3 - 32 c3 + 6 c) Vrr- cc. Sin. 7A=(64 c6 - 80 ct +24 c2 1) Vrr-cc. Sin. 8A=( 1286? = 192c5+ 80 c3 - 10 c) Vrr-66. &c. Sin. 5A = 55 – 20 s3 † 1655. Sin. 6A = (65 − 32 s3 + 32 s3 ) ▼ rr − ss. Sin. 7A = 78-5653 +11255-6457. Sin. 8A = ( 8s – 80 s3 + 19255 − 128 s2 ) ▼ rr – ss. Sin. 9A = 95-12053 +43255 - 57655 +256 s9. &c. Pour trouver aifément chacune de ces deux Tables, il n'y a qu'à fuppofer le dernier finus trouvé=fin A, tandis que le finus & cofinus de B font conftamment défignés par s &c, & chercher enfuite le finus de la fomme de ces deux arcs par la formule: Sin (A+B)=fin A x cof B + fin B× cof A. Il n'eft pas difficile de voir que l'on rendroit tous les termes de ces équations homogenes, en fubftituant les différentes puiffances du rayon ou finus total que nous nous fommes difpenfés d'exprimer. On voit pareillement que la premiere fuite donne l'expreffion des finus de l'arc multiple en cofinus de l'arc fimple, & la feconde donne les expreffions des mêmes finus en finus de l'arc fimple. Pour donner à ces formules toute la généralité dont elles font fufceptibles, nous ajouterons ici la formule générale qui convient à chaque fuite; il eft aifé de voir que la feconde Table aura deux formules générales à cause de Tr—ss qui fe trouve à tous les termes de rang pair, fans fe trouver aux termes de rang impair. Quant à la maniere de trouver ces formules générales, elle fe déduit de la confidération des coeffi cients & des expofants de chaque terme. I. 2. 3. 4. n étant un nombre quelconque. B Premiere formule générale pour la feconde fuite n étant un nombre impair quelconque. C Seconde formule générale pour la feconde fuite n étant un nombre pair quelconque. 29. Pareillement fi l'on fuppofe encore l'arc B fucceffivement égal à A, 2A, 3A, 4A, &c, en se servant encore des mêmes dénominations ; & fuivant le même procédé fur la formule du cofinus de la fomme de deux arcs trouvée au fecond problême, on formera encore les deux Tables fuivantes, dont l'une exprime les cofinus d'arcs multiples en cofinus, & l'autre en finus de l'arc fimple; on aura donc : Cof. SA = (1654-1252+1) Vrr-ss. Cof. 6A = - · 325° +48 54 — 18s2 + 1. Cof. 7A = (−645° +8054 – 24 s2 + 1 ) ▼ rr−ss. &c. D. Formule générale pour la premiere fuite, n étant un nombre quelconque. Si l'arc défigné par A eft obtus, fon cofinus devient négatif, & alors toutes les formules où la lettre c se trouve élévée à des puiffances impaires changent de figne; ce qui aura lieu pareillement dans la formule gé→ nérale lorsque n est impair. Formule F. Formule générale de la feconde fuite,n étant un nombre impair quelconque. G. Formule générale de la feconde suite, n étant un nombre pair quelconque. n =r"-1 Cof.nA=2" 1 s” — — r2 2′′ ~ 3 s′ 12-2 + I Les fignes fupérieurs ont lieu dans la premiere formule, lorfque le nombre impair eft l'un des nombres impairs I, 5, 9, 13, &c; & les chiffres inférieurs dans les cas où n eft l'un des nombres impairs 3. 7. 1 1. &c. De même dans la feconde formule les fignes fupérieurs ont lieu, lorfque le nombre eft pairement pair ; & le figne inférieur eft pour les nombres qui ne font pas pairement pairs. SCHOLI E. 30. On pourroit déduire des formules générales que nous venons de donner un grand nombre de vérités intéreffantes, fur la nature des racines des équations; dans la crainte de nous étendre trop loin nous renvoyons nos Lecteurs aux ouvrages de M. Euler, où l'on trouvera tout le détail qu'on pourroit defirer fur cette matiere. Nous nous contenterons d'appliquer ces formules à la théorie des puiffances des finus & cofinus, que nous réduirons à deux Problêmes. Le premier; étant donnée une puissance quelconque d'un finus ou d'un cofinus, trouver l'expreffion de cette puiffance en finus & 2 B |