Ọ. Formule pour réduire un cofinus multiple en fonctions du cofinus de l'arc fimple, n étant un nombre pair quelconque.

Ces deux dernieres formules fe déduifent aifément de la premiere table du Corollaire V (n°. 29), en obfervant la loi des coefficients pour les termes de rang pair & de rang impair. Dans la premiere formule M des finus, on prendra le figne fupérieur lorfque le nombre eft quelqu'un des nombres pairs défignés par 4m, m étant un nombre quelconque le figne inférieur a lieu pour tous les nombres de la forme 2m en fuppofant que m eft un nombre impair quelconque.

Pareillement dans la feconde formule N, le figne fupérieur doit avoir lieu pour les les nombres impairs de la forme 4m-1, & le figne inférieur pour ceux de la forme 4m+1, m étant un nombre quelconque. On verra de même que dans la troifieme fuite O, le cofinus eft pofitif ou négatif fuivant que l'on a n=4m ou n = 2m, métant un nombre quelconque dans le premier cas & un

nombre impair dans le fecond. Enfin lorfque n eft impair; le cofinus eft pofitif ou négatif felon que n=4m+ I

De l'ufage des Facteurs imaginaires dans la théorie des Sinus & Cofinus.

36. Toutes les fuites que nous venons de donner ont été déduites immédiatement des deux Problêmes fur les finus & cofinus de la fomme ou de la différence de deux arcs quelconques, que nous avons fuppofés égaux; mais il y auroit encore bien d'autres méthodes de découvrir de nouvelles fuites; nous ajouterons seulement ici celle où l'on employe des facteurs imaginaires, non que les expreffions abfurdes en elles-mêmes foient préférables à d'autres, mais parce qu'on peut quelquefois les employer heureufement pour abréger les calculs, & découvrir facilement, par leur moyen, des vérités inté

reffantes.

PROBLEME

V.

37. Trouver les Facteurs de la fomme de deux quarréstels que aa & bb, ou ce qui revient au même, découvrir comment il faut combiner a & b par multiplication, pour que le produit foit aa + bb.

SOLUTION.

Soient A & B les indéterminées qui doivent affecter les racines a & b des quarrés, pour que le produit foit aa +bb; & fuppofons que les facteurs foient a+ Ab, & aBb. Faifant la multiplication de ces deux facteurs, on trouve que le produit aaB + abAB + ab + Abb =aa+bb; comparant les termes de cette équation, je vois qu'en fuppofant aaB = aa on aura B = 1, & qu'en fuppofant Abbbb on aura auffi A1; ce qui m'apprend d'abord que fi les quantités A & B font poffibles, on aura AB, ce qui donne AB=AA=BB;

bb le

préfentement à caufe que dans la fomme aa terme ab manque, il faut donc que l'on ait ab + ab AB O ou ab+ A Aabo ou ab + BBab=0; c'est-à-dire, qu'on auroit AA +1=0 ou BB + 1 = 0; ce qui eft impoffible; puifque nous avons vu que AA ou BB=1; donc les facteurs ne peuvent pas avoir la forme fuppofée; donc la quantité propofée ne peut pas être décompofée en facteurs, ou, ce qui revient au même, n'eft pas un produit des quantités a & b, de quelque maniere qu'on veuille les combiner. Cependant fi on veut en quelque façon réfoudre l'équation AA+1= 0, malgré l'abfurdité qu'elle emporte, comme on vient de le voir; on aura AA- 1 ; & tirant les racines A =+ On trouvera de même B =+V—1. Cette expreffion que les Géometres ont nommée imaginaire, n'eft donc pas une quantité réelle, mais un figne d'une fuppofition abfurde dans laquelle on regarde comme produit de deux quantités ce qui n'en eft pas un.

I.

Ce figne pouvant être d'ufage, rien n'empêche de l'employer dans le calcul, & alors les facteurs imaginaires de aabb feront a+bV-1) & a— bV — i ou b + a V — 1 & b — a V — 1, ou — a+bV=I —a—bV—1. C. Q. F. T.

SCHOL I E.

38. Ayant découvert que aa+bb ne peut pas être un produit des quantités a & b, on pourroit demander s'il n'y a pas quelque moyen de trouver cette même fomme de quarrés par une autre combinaifon des quantités ab & ab. Dans cette vue, j'éleve chacune de ces quantités au quarré, & je trouve aa + 2ab+bb, aa2ab+bb. Je vois auffi qu'en ajoutant ces quarrés, & prenant leur demi-fomme, on aura la fomme aa+bb; donc il eft clair que cette fomme de quarrés n'eft pas un produit des quantités a + b & a-b, mais uniquement. la demi-fomme des quarrés de ces mêmes quantités.

On pourroit pouffer cette théorie beaucoup plus loin;, mais j'ai cru que le peu que j'en ai dit ici, étoit néceffaire pour fixer l'idée qu'on doit fe former des imaginaires qui n'ont été bien préfentées dans aucun élément, du moins de ceux que je connois. De plus cette théorie me paroît également néceffaire, depuis qu'on a introduit ces expreffions dans les finus & cofinus. Enfin on ne peut pas avoir des notions précifes des rapports finguliers qui fe trouvent entre les courbes du genre hyperbolique & celles du genre elliptique, & pareillement entre les logarithmes & les arcs de cercle, fans y faire l'application de tout ce que nous venons de dire ici.

COROLLAIRE I.

2

39. Il fuit delà que fi l'on veut trouver les facteurs imaginaires de fin2 A+ cof2 ARR, on aura (cof A +fin AV-1) x (cof A-fin AV-1) RR. De même fi l'on suppose un autre arc B; & qu'on veuille faire ufage des facteurs imaginaires, on trouvera que (cofA+fin AV-1) x (cofB +fin BV-1)= cof Ax cof B-fin Axfin B+V-1x(cofAxfin B +fin Ax fin B). cof (A+B)+V=I fin (A+B). (art. 23 & 24).

==

De même (cof A- fin A√—1) × ( cof B — fin B V— 1 ) = cof ( A + B) —√—1 fin (A+B). On trouveroit par un calcul femblable que (cof A+VI fin A) x (cof BV 1 fin B) × cof C±√—I fin C)=cof (A+B+C) ±√— 1 fin ( A + B+C).

COROLLAIRE II.

40. Donc fi l'on prend deux facteurs,& qu'on fuppofe les arcs A & B égaux entr'eux, on aura (cof A± fin

2

A√1)2 = cos 2 A± fin 2AV— 1. On trou vera de même que (cof A ± fin AV — 1 ) 3 = cos 3 A fin 3AV-1 ; & par analogie l'on en conclura généralement que (cof A±fin AV—1)" = cof nA

+fin n AV-1.

I.

COROLLAIRE III.

41. De la derniere équation l'on tire fin nA V

(cof A+fin AVT)" cofnA. Et à caufe du

figne

on aura encore fin nAV-1 I = cof nA (cof A-fin AV1)". Ajoutant ces deux valeurs &

divifant par 2-1, on trouvera l'expreffion suivante pour le finus d'un arc multiple.

n

Sin. nA— (cofA+fin AV − 1 )” — (cof A - fin AV

On trouveroit de même que

2V - 1.

- I :)

Cof.nA=(cofA+fin AV − 1 )”+ ( cos A − sin AV −1 )′′

2

COROLLAIRE IV.

42. Si l'on éleve chacun de ces binomes à la puiffance n par la formule générale, on trouvera que tous les termes affectés d'imaginaires fe détruifent, & l'on aura deux fuites générales, dont l'une exprimera les finus & l'autre les cofinus d'arcs multiples.

Q.

- I

Premiere formule.

Sin. nA=n. cof" Ax fin A

cos"-3

nxn-ixn− 2 x n − 3 × n-4

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3

cos"-" A fins A,