égal à l'angle en C du fecond, on aura donc la proportion OK: OM :: AL: CA; ou en fubftituant à ces lignes leurs expreffions en finus & cofinus; fin A+fin B: 2cof (AB):: fin (A+B): R, d'où l'on tire la premiere partie du Théorême en faifant le rayon

égal à l'unité, C, Q, F1o, D.

2o. A caufe des triangles femblables EKB, CLA on aura encore EK: EB:: CL: CA ou fin A fin B : 2fin (AB):: cof(A+B): R d'où l'on tire la feconde partie du Théorême. C. Q. F. 2o, D.

58. Je dis de plus que l'on aura encore les deux équations fuivantes. 1o. Cof A+ cofB = 2cos ( ¦ A+B) x cof(AB). 2°. cof B-cofA=2fin (A+B) xfin (AB).

DEMONSTRATION.

Les mêmes triangles femblables MKO, CLA, EKB donnent encore les deux analogies fuivantes MK : MO:: CL: CA; & BK: BE:: AL: CA; dans lesquelles fubftituant les valeurs de chaque terme ou trouvera cosA + cos B: 2cos (A — B) :: cof (A+B): R; 2° cof B-sof A: 2cof(A+B): : fin (A+B): R; d'où l'on tire fur le champ les deux équations qu'il falloit démontrer. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

59. Donc on aura

tang (A+B)

tang (A-B)

fin A+fin B

fin A-fin B

2 fin (A+B) ×cos(÷A-1B) 2cos (÷A+÷B) ×fin ( {A−B

(AB) en fubftituant la tangente au lieu defin

COROLLAIRE II.

cof

2 fin (A+B) × cos (¦ A−÷ B) zcof(A+B) x cos ( A - ÷ B)

tang (A+B) en effaçant ce qui fe détruit, &

fin

fubftituant tang pour

cof

COROLLAIRE III.

fin A-fin B

61. De même on trouvera que cof A+ cof B

=tang
tang (A-B); en-

2cof( ÷ A+÷÷B) × fin ( ¦ A − ÷ B)

2 cof (A-B)× cof (A+B)
fin l'on fera voir de la même maniere

fin A-fin B

que

cof B-cofA

cot (A+B), & que

cofB+cof A

cot (A+B

cof B-cof A

tang (A-B

cot (A+B) x cot (A-B).

COROLLAIRE IV.

eft une conféquence immédiate de ce que nous avons démontré (no. 13) R:cof÷A:: 2finA: fin A, en A+ B. On trouveroit de même que

RR-2 fin2
· 2 fin2

faifant A

cof (A+B) cof(A-B).

RR

(A+

Enfin l'on pour

roit encore déduire des différents triangles femblables que nous préfente la figure 8, un grand nombre d'autres propriétés ; par exemple, du quadrilatere MOBE infcrit au cercle, on tireroit tout de fuite les formules. que nous avons démontrées au no. 26 par de fimples fubftitutions. Mais ce que nous venons d'expofer, fera plus que fuffifant pour indiquer comment on peut trouver les propriétés dont on pourroit avoir befoin. Il ne nous refte plus qu'à faire quelques applications de ces formules.

Ufage de quelques-unes des Formules précédentes dans les Logarithmes.

63. Les formules fin A+finB=2fin (A+B) x cof(AB) & fin A-fin B=2cof(A+B) xfin (AB) indiquent comment il faut s'y prendre pour trouver les logarithmes de la fomme ou de la différence de deux quantités données un exemple : fera concevoir aifément la pratique de cette opération.

EXEMPLE I.

64. Soient les nombres 8467 & 8635 dont la fomme eft 17102, de laquelle il s'agit de trouver le logarithme; qu'on fuppofe ne fe pas trouver dans les tables. (Il en feroit de même de deux autres nombres quelconques qui contiendroient même des fractions, & dont les logarithmes feroient donnés). Je me fers de la formule fin A +fin B=2fin (A+B) × cof(AB). Pour avoir d'abord les angles A & B, j'ajoute 6 à la caractériftique des logarithmes des nombres donnés, afin de pouvoir les trouver dans les tables des logarithmes des finus, parce que ces logarithmes n'ont point de caractéristique au-deffous de 7 niau-deffus de 9, & je trouve

9,936262 = log. 8635=log. fin. 59° 42′ 40′′ = A. 9,927730= lcg. 8467 = log. fin. 57° 51′ 16′′ = B. 'd'où l'on tire A+B=58° 46′ 58′′ & A-÷B =1° 51' 24".

0,301030 log. de 2. 9,932072 log. fin. (A+B). 9,999914 log.cof.(A-B). 20,233016 4,233016 = log. 17102.

Je cherche enfuite les logarithmes du finus du premier de ces angles & celui du cofinus du dernier : à la fomme de ces logarithmes j'ajoute celui du nombre 2; enfin de cette fomme j'ôte 10+ 6 ou 16 à caufe du rayon qui divife, & des fix unités qui ont été ajoutées à la cara

Etéristique, & je trouve que le logarithme de 17102, eft égal au refte 4,233016.

EXEMPLE II.

65. Pareillement on pourroit faire ufage des mêmes formules pour conftruire par les logarithmes une expreffion plus compliquée telle que feroit celle-ci rx A+ aabb) dans laquelle on supposera que r est le

AA+aa

2 A a

finus total; que A eft un nombre dont le logarithme 4,054723; que celui de a=3,108354, & celui de b= 3,876870, ce qui donnera les logarithmes des quantités A2, a bb en doublant les premiers. Cela pofé,je regarde d'abord les logarithmes de A' & a' comme ceux des finus de deux angles qu'il faut trouver. J'ajoute l'unité à chaque caractérislog. A'= 9,109446= log. fin. 7° 23' 32"=A tique pour en trouver log, a2=7,2167c8=log. fin. 0 5 40"-B les logarithmes parmi donc on aura A+B=3°44' 36" ceux des finus.Ayant trouvé les angles qui leur répondent, j'a

cheve

l'opération

comme on le voit ici

&

A-B=3°38′ 56′′

0,301030=log de z.

8,814845=log. fin. (A+B) 9,999119= log. cof. (A —÷B). 19,115003

à côté ; & retranchant 10+ 1 de la caractéristique du nombre trouvé, j'ai le logarithme de A2+ a2 = 8,115003; regardant de nouveau ce logarithme comme celui de fin de A, & lui ajoutant l'unité ainfi qu'à celui de b2, l'opération s'achevera comme on le voit ici, en fe fervant de la formule fin A-fin B=2fin (A—B) x cof(A+B)

&

9,115003 = log. fin. 7° 29'16" donc 9,753740=log. fin. 3° 15' 6' 0,301030 log. 2. 8,567716=log. fin. (AB) 9,998091 = log. cos. (A+B). 18,866837

7,866837 = log. A2 + a2 – b3.

A+B= 5° 22' 11"
A-B=2° 7' 5"

0,301030 log. de 2.
4,054723 log. de A.
3.108354 log. de a.

7,464107 log de 2A a.

De l'ufage du Complément arithmétique.

66. Avant de terminer ces obfervations, il ne fera pas inutile de donner une notion précife de ce que c'eft que le complément arithmétique, dont les Géométres fe fervent fouvent pour changer la fouftraction en addition. Pour cela foit, par exemple, le nombre 754 à ôter du nombre 896, je vois d'abord que fi j'ôtois ce nombre de 1000, & que j'ajoutaffe le refte à 896 en ôtant de la fomme le chiffre qui fe trouveroit au rang des milles, ce feroit comme fi je l'ôtois de 896 comme à l'ordinaire. Mais pour ôter ce nombre de 1000, il n'y a qu'à prendre tous les chiffres qui font des 9 avec chacun de ceux du nombre à fouftraire, excepté le dernier qui doit faire 10, comme la fouftraction le démontre; le nombre que l'on trouve par cette opération, eft, ce que l'on appelle, Complément arithmétique. Ainfi dans notre exemple ce nombre eft 246 que j'ajoute à 896,en ôtant de la fomme 1142 l'unité du rang des milles, j'ai 142 pour le refte cherché.

COROLLAIRE.

67. Il fuit delà & des formules cot A=

R2 cot A

R2

RR

; tang A tang A ; cofec A= fin A' & autres femblables, que les logarithmes de ces quantités fe trouveront en ajoutant les compléments arithmétiques des dénominateurs au logarithme du rayon. Ou ce qui revient au même logarithmes de ces quantités fe trouvent en prenant différence du logarithme du dénominateur au logarithme du quarré du rayon qui a 20 pour charactéristique.

pour

que

les

la