==cot A

tang A. Et fi à la place de cotang. dans

le fecond membre de chaque équation on met fa valeur RR-tang comp & cot A

RR

- (n°.12), on aura tang A

tang RR- tang2 A

2 tang A analogies fuivantes.

2 tang comp A

A

D'où il eft facile de déduire les deux

2 Tang comp A: R+ tang comp A::R comp A: tang A.

Et 2 tang A: R+ tang A:: R-tang A: cot A. La premiere de ces deux analogies peut encore fe changer en celle-ci. 2 Tang (45°-A): R + tang R+tang (45°-A): R-tang (45°-A): tang A.

THEOREME VI.

21. Soit toujours un arc quelconque AM décrit d'un

fin Ax R

rayon CA,je dis que l'on aura 1°, 1+ cof A=2 cof2; A -; 2°, 1 — cof A cof A = 2 fin2 ¦ A — 2 fin2 A fin Ax tang A; enfaifant le rayon à l'unité.

tang A

DEMONSTRATION.

Soit d'abord tirée par les extrémités B, M (fig. 4) du diametre AB, & de la corde AM la corde BMT terminée à la tangente de l'arc AM en un point T, & foient encore menées par le centre C les droites CK & CL refpectivement paralleles aux droites BM & AM : il eft vifible que AT fera le double de la tangente de la moitié de l'arc AM; CD ou ML ou LB feront le cofinus de la moitié du même arc.

2

Cela pofé, les triangles femblables BLC BPM donneront BC: BL:: BM: BP:: 2BL: BP, donc BP 2BL2 c'eft-à-dire, que cof A= 2cof2 A. Pa

BC

,

I

reillement à cause des triangles semblables CLB & APM,

on a CB: CL:: AM: AP; donc AP=

2AD 2

CB puifque

AM 2AD ou 2DM ou 2 CL; donc Icof A= 2 fin2 A. C. Q. F. 1o, D.

2o. A caufe des triangles femblables APM, BAT & BPM, on aura les deux proportions BP: PM :: BA: AT, ou cof A: fin A:: 2 R: 2 tang A; & encore PM AP: AB: AT; ou fin A: 1- cofA:: 2R: 2 tang A; donc 1 + cof Afin A × R & 1fin Axtang A

cof A

R

C. Q. F. 2°, D.

COROLLAIRE.

Lang A

V & v les finus-verfes AP, BP d'un arc AM, on aura

V v R

2 fin

A & v

R

,

En nommant A l'arc MG complément de AM aura par les triangles femblables AMP MPB & AMB les formules fuivantes. R+fin A= 2 fin ( 45° +A), & R-fin A = 2 fin2 (45° - A) & R+fin A fin' (45°+A)

R-fin A fin' (45°-A)

PROBLEM E.

23. Etant donnés deux arcs quelconques AM & AN, trouver le finus de leur fomme & de leur différence (fig. 5). SOLUTION.

Soit défigné le plus grand arc par A & le plus petit par B, foit prolongé le finus MP du plus grand arc AM, jufqu'à ce qu'il rencontre le rayon CN qui paffe par l'extrémité du plus petit arc dans un point R; enfin foit menée la droite ML perpendiculaire au même rayon, laquelle fera le finus de la fomme des arcs AM & AN,

Cela pofé, les triangles femblables CQN, CPR donnent CQ: QN :: CP: PR ou cof B: fin B:: cofA: PR cof Axfin B; donc RM = fin A+ cof AxfinB ̧

; de

cof B cof B plus les triangles semblables NQC, RLM donnent encore NC:QC:: MR: ML, ou bien R: cof B :: fin A+ cof Ax fin B : fin (A+B). fin Ax cof B+fin B x cosA

cof B C. Q. F. 10, D.

Ꭱ

2o. Pour trouver le finus de la différence de deux arcs, nous regarderons actuellement MN comme le plus grand que nous avons nommé A, & l'arc AN comme le plus petit que nous défignerons toujours par B. Cela pofé, les triangles femblables CQN, CLO donnent CQ: QN:: CL: LO; ou cofB: fin B:: cof A: LO cof Ax fin B -; donc OM = fin A cof Ax fin B; de

cof B

cofB plus à caufe des triangles femblables MPO, CQN, on aura CN: CQ::OM:PM; ou R: cof B:: fin A cof Ax fin B fin (A-B)= cof B

C. Q. F. 2°, D.

fin Ax cof B - fin В ×cof A

R

PROBLEME II.

24. Trouver le cofinus de la fomme ou de la différence de deux arcs quelconques A & B (fig. 5).

SOLUTION.

Les triangles CQN & MPO étant femblables puifqu'ils ont leurs côtés perpendiculaires les uns fur les autres, on aura CQ: QN:: MP: PO; ou cof B: fin B: fin A: PO fin A× fin B donc CO= cof A fin Axfin B

cof B

cof B

Mais on a encore à caufe des triangles femblables CQN, CLO; CN:CQ::CO:CL,ou R: cof B : : cof A fin Ax fin B

cof Axcof B-fin Ax fin B

R

cof B

: cof (A+B)

C. Q. F. 1° T.

2o. En regardant l'arc MN comme A, & l'arc AN comme B, il eft vifible que CP fera le cofinus de la différence des mêmes arcs. Cela pofé, à caufe des triangles femblables CQN, MLR; CQ: QN:: ML: LR fin Ax fin B ou cof B: fin B:: fin A: LR

=

ou CL+LR=cofA+fin Axfin B

cof B

; donc CR

cof B

; & à caufe des

triangles femblables CQN, CPR, on aura CN: CQ:: RC: CP; ou bien R: cofB:: cof A+

fin Ax fin B
cof B

: cof

C. Q. F. 2° T.

R

COROLLAIRE I.

25. Il fuit des formules que nous venons de décou vrir aux deux derniers problêmes que l'on aura les deux · proportions fuivantes :

Sin (A+B): fin ( A − B ) : : fin A×cof B+ sin B× caf A: fin Ax cof B-fin B x cofA, &

Cof. (A+B): cof (A-B) :: cos A× cos B− sin A × sin B: cof 'Ax cofB+fin Axfin B.

Donc en divifant les deux termes du fecond rapport de la premiere proportion par cof Ax cof B, & ceux du fecond rapport de la feconde proportion par cofA x fin B, on aura les deux analogies fuivantes après avoir substitué aux nouvelles expreffions celles des tangentes qui leur font égales (n°. 11 ).

Sin (A+B): fin (A~B) :: tang A+ tang B: tang A- tang B, & de même

Cof(A+B): cof(A-B) :: cot B- tang A: cot B+zang A:: cot A-tang B: cot A + tang B.

Il n'eft pas néceffaire d'avertir que ces proportions pourroient s'écrire fous la forme d'une équation.

COROLLAIRE II.

26. Puifque l'on a cof (A+B): cof (A-B):: cof Ax cof B-fin Axfin B: cof Ax cof B + fin Ax fin B, il s'enfuit que l'on aura par un detrahendo cof (AB) cof(A+B) = 2 fin A x fin B.

On trouveroit de même par un componendo que cof (A+B) + cos (A—B) 2 cof Ax cofB.

De même des proportions fin (A+B) : fin (A-B):: fin Ax cof B + fin B cof A : fin Ax cof B-fin B x cof A, on trouvera encore par un componendo & un detrahendo que

2 fin Ax cof B = sin (A+B)+ sin (A—B) & que 2 fin B x cof A= fin (A+B) — sin (A—B). réuniffant toutes ces expreffions & divifant par 2, on aura les fuivantes.

Sin A × fin B = cos (A-B) - cos (A+B); fin AxcofB⇒

x

fin (A+B) + sin ( A−B)

2

2

Cof Ax cof B=cof(A+B)+cosA−B). cos (A+B)+cos A−B); fin Bx cof A=

fin (A+B) - fin ( A − B )

2

2

COROLLAIRE III.

27. Il fuit encore delà que fi l'on connoît les finus & cofinus de tous les arcs au-deffous de 30°, on connoîtra auffi les finus & cofinus de tous les arcs au-deffus de 30o jufqu'à 60° par la fouftraction seule; d'où il fuit que fi l'on calcule par ce moyen les finus & cofinus jufqu'à 45°, on aura tous les finus & cofinus jufqu'à 90°, puifque le cofinus d'un angle au-deffous de 45° eft le finus d'un arc qui furpaffe d'autant 45°. Pour faifir la vérité de ce Corollaire, il faut faire attention que le finus de 30° étant la moitié de la corde de 60° fera égat