CHAPITRE PREMIER.

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES ET D'ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ.

144. Nous entendons par équation du premier degré une équation où l'inconnu entre à la première puissance. Occupons-nous, d'une manière générale, de la résolution des équations du premier degré, et, d'abord, d'une équation à un inconnu.

§ I. RESOLUTION D'UNE ÉQUATION DU PREMIER degré

A UN INCONNU.

145. PREMIER CAS. L'équation consiste dans l'égalité de deux rapports d'après l'addition ou la

soustraction.

Soit un nombre inconnu x, lié à des nombres connus par une équation de la forme

ax+b =cx+d. (1)

Pour connaître x, il faut le dégager des autres nombres et déterminer les opérations à exécuter sur ceux-ci pour l'obtenir. Or, d'après les notions de somme et d'excès, ou d'addition et de soustraction, il est évident que l'équation (1) est équivalente aux suivantes :

Au point de vue graphique, on peut énoncer cette règle: Lorsqu'on fait passer un terme d'un membre d'une équation dans l'autre, il faut changer le signe de son expression graphique.

DEUXIÈME CAS.

L'équation consiste dans l'égalité de deux rapports d'après la multiplication ou d'après la division.

Soit un nombre inconnu x, lié à des nombres connus par une équation de la forme

D'après les notions de produit et de quotient, ou de multiplication et de division, il est évident que l'équation (2) est équivalente à

TROISIÈME CAS. L'équation consiste dans l'égalité de deux combinaisons de rapports d'après l'addition, d'après la soustraction, d'après la multiplication et d'après la division.

Soit un nombre inconnu x, lié à des nombres connus par une équation de la forme

D'après les nos 31 et 34, cette égalité revient à

ou, d'après la notion de quotient, à

nq (dax — cb) = bd (qmx — np).

D'après les notions d'addition et de soustraction et le no 64, la dernière égalité revient à

nqdax — bdqmx = nqcb — bdp;

d'où l'on conclut (no 64)

et

SYNTHÈSE.

Pour trouver la solution d'une équation du premier degré à un inconnu, dans laquelle entrent des termes entiers et des termes fractionnaires, commencez par rendre tous les termes entiers en réduisant les deux membres au même dénominateur et en multipliant chacun par ce dénominateur, faites passer toutes les parties qui renferment, le nombre inconnu dans l'un des membres, toutes celles qui ne le renferment pas dans l'autre, et vous déduirez facilement les opérations à exécuter sur les nombres connus pour obtenir l'inconnu.

On se débarrasse des dénominateurs en multipliant les deux membres par 60, qui est leur plus petit multiple commun. L'équation

30x 4x 3 20 45x+48.x

que l'on obtient, est équivalente à la première.

On fait ensuite passer dans le premier membre les termes qui contiennent l'inconnu, et dans le second ceux qui ne contiennent que des nombres connus. On trouve ainsi que x doit réaliser

On se débarrasse des dénominateurs en multipliant les deux membres par 84, qui est leur plus petit multiple commun. L'équation

que l'on obtient, est équivalente à la première. On fait ensuite passer dans un membre les termes

qui contiennent l'inconnu, et dans l'autre ceux qui

ne le contiennent pas. On obtient ainsi

On peut vérifier que 28 réalise l'équation; elle devient, en effet, sous x = 28,

dans laquelle a, b, c désignent des nombres connus, x le nombre inconnu.

On se débarrasse des dénominateurs en multipliant les deux membres ou chacun de leurs termes par le plus petit multiple commun des dénominateurs, a (a+b)3. L'équation obtenue,

(2a+b)b2 (a+b) x-a3b23ac (a+b)3 x+b(a+b)3 x-3a2bc(a+b)2, est équivalente à la première.

On fait passer les termes qui renferment l'inconnu dans un membre et les termes connus dans l'autre il vient

:

a3b2+3a2bc(a+b)2=3ac (a+b)3 x +b (a + b)3 x − (2a+b)b2 (a+b)x, ou (no 64)

a3b2+3a2bc (a+b)2=a [3ac (a+b+b(a+b)3-(2a+b)b2 (a+b1],