SV.

RECHERCHE DES VALEURS DU VARIABLE QUI RENDENT MAXIMA OU MINIMA UNE FONCTION DE CE VARIABLE.

268. Nous savons maintenant déterminer les valeurs du variable qui rendent une fonction de ce variable égale à des valeurs données: ce résultat a été acquis par la théorie générale de la résolution des équations. Pour étudier plus complètement cette fonction, proposons-nous de rechercher les valeurs du variable qui rendent la fonction plus grande ou plus petite que les valeurs qu'elle acquiert sous les valeurs du variable voisines des premières : ce sont des états de la fonction que nous appellerons maxima et minima.

269. Recherche des maxima et des minima d'une fonction d'un seul variable indépendant, commensurable avec celui-ci.

Représentons-nous la succession des valeurs que prend la fonction continue

y = q(x) (1),

lorsqu'on donne à x successivement toutes les valeurs additives et toutes les valeurs soustractives. Si les valeurs de y, après avoir été croissantes, deviennent décroissantes, la fonction (x) aura passé 9 dans l'intervalle par une valeur additive ou soustractive (AB, A,B1, A,B2, ...) plus grande que celles qui la précèdent ou la suivent immédiatement, c'està-dire par un maximum. Au contraire, si les valeurs de y, après avoir été décroissantes, commencent à

croître, la fonction (x) aura passé dans l'intervalle

par une valeur additive ou soustractive (a b, a b1, ab2) plus petite que

celles qui la précè

dent ou la suivent immédiatement, c'est-à-dire par un minimum.

Il est clair que la fonction n'admet ni maximum ni mini

mum si elle peut croître ou décroître continuellementau

delà de toute limite. Une fonction y = (x) étant donnée,

il s'agit de reconnaître s'il existe des valeurs du variable indépendant fournissant des maxima ou des minima de la fonction et de déterminer ces valeurs.

A cet effet, recherchons les con

ditions auxquelles doit satisfaire une valeur particulière a du variable pour produire un maximum ou un minimum de la fonction. Pour que a pro

duise un maximum, elle doit être telle que, h étant suffisamment petit,

4 (a ±h) soit <&(a); (2)

pour que a produise un minimum, elle doit être telle que

(ah) soit (a) (3).

Supposons qu'il s'agisse d'abord du maximum. Pour que a produise un maximum, il faut que a soit

telle que

Rien ne limitant la petitesse de h, le signe du premier terme décidera donc du signe de l'ensemble de (4) et de (5), et comme l'on ne saurait avoir en même temps hq' (a) soustractif, si q' (a) conserve une valeur quelconque lorsque x devient égal à a, il faut que q' (a) soit nulle. Quand, en outre, q" (a) sera soustractive, les conditions nécessaires et suffisantes pour que a produise un maximum seront satisfaites.

Supposons maintenant qu'il s'agisse du minimum. Pour que a produise un minimum de la fonction, il faut que a soit telle que

4(a±h)-4(a) soit additif,

h2

h3

(7) − h 4′ (a) +124′′ (a) — 1.2.3 4''' (a) +

Par le même raisonnement que ci-dessus, on trouvera pour les conditions du minimum : q' (a) nulle et q" (a) additive.

De tout cela il résulte que :

Puisque une valeur a de x ne produit un maximum ou un minimum de la fonction que si q' (a) est nulle, les seules valeurs de x capables de faire comparaitre un maximum ou un minimum de la fonction seront les racines de l'équation q' (x) =o. Selon que ces racines attribueront à q" (x) une valeur additive ou soustractive, elles amèneront un minimum ou

maximum.

REMARQUE.

de g'(x)=

Il peut arriver qu'une des racines a = o annule aussi q" (a); dans ce cas, la fonction (a) ne sera un maximum ou un minimum que Ф si cette valeur a annule encore q" (a), car les conditions du maximum sont alors

C'est encore le premier terme qui impose son signe. Or, il ne peut rester constamment additif ou constamment soustractif, quand h est additif et soustractif; il faudra donc q'" (a) =0, pour que les conditions (8) et (9) puissent se réaliser. Selon que les racines de q' (x) = o attribueront à q1 (x) une valeur additive ou soustractive, il y aura minimum ou maximum.

IV

On démontrerait de même que si q1 (a) =o, l'existence du maximum ou du minimum sous x = a exigera q' (a) o et q (a) soustractif ou additif. En généralisant, on dira que :

=

VI

=

0,

Une valeur particulière a, racine de q' (x) rend q(x) maximum ou minimum, lorsque la dérivée qui cesse de s'annuler sous x = a est d'ordre pair. Si cette dérivée est additive sous x = a, il y a minimum de q (x); si elle est soustractive, il y a maximum de q (x).

REMARQUE II. - Il est clair que cette théorie des maxima et des minima, basée sur la formule (12) du no 229, qui ne subsiste que dans le cas où les dérivées de la fonction sont limitées et varient d'une manière continue sous les valeurs considérées des variables, ne subsiste elle-même que dans ces circonstances. C'est, en particulier, le cas des fonctions dans lesquelles n'entrent que des fonctions commensurables du variable, somme, excès, produit, quotient et puissance, et qui forment les premiers membres des équations que nous avons considérées dans les §§ I, II et III de ce chapitre.