Sulli avoit réduit l'intérêt de l'argent, du denier dix & douze, au denier feize; le Cardinal de Richelieu, du denier feize au denier dix-huit; enfin Colbert le réduifit du denier dix-huit au denier vingt, taux où il eft encore aujourd'hui.

Le calcul de l'anatocifme ou des intérêts compofés, eft une opération beaucoup plus difficile que les précédentes. J'expoferai d'abord une férie analytique de ce calcul; j'enseignerai enfuite la maniere de réfoudre par les logarithmes toutes les questions qu'on peut faire fur l'anatocifme.

Il faut obferver que l'anatocifme n'eft permis que pour les pupilles, dont le tuteur eft obligé de faire profiter l'argent à intérêts compofés, faute de quoi on l'en rend refponfable.

Probléme. Trouver les intérêts compofés d'une fomme quelcon que pour un temps auffi quelconque, à raifon de tant pout cent: par exemple, tirer les intérêts compofés de 10000 liv. à 5 pour cent d'intérêt, pour dix ans.

b

a, 5=b, 100 c; foit encore

Solution. Soit 10000 a, s

=d; il fera facile de trouver les formules pour toutes les années qu'on voudra. En voici pour toutes les années, depuis 1 jusqu'à 10. Années.

Dans cette fuite de formules, je remarque 1°. que chacune contient autant de termes qu'il y a d'années d'arrérages; 2°. que la formule de chaque année fe peut former de celle de l'année qui précéde immédiatement : car si au coefficient du premier terme de la formule précédente, par exemple, de celle qui précéde la cinquieme année, on ajoute un a, on aura 4a+a= sa, numérateur, du premier terme; de la fomme 4a+6 a du premier & du fecond terme de la quatrieme année on forme le numérateur 10 a du fecond terme de la cinquieme année; de la fomme 6a+ 4a du fecond & du troifieme terme de la quatrieme, on forme le numérateur 10 a du troiieme terme de la cinquieme année; de la fomme des numérateurs 4 a + a du troisieme & du trieme terme de la quatrieme formule, on fait le numérateurs a du quatrieme terme de la cinquieme formule; enfin du numérateur a du quatrieme terme de la quatrieme formule, on fait le numérateur du cinquieme terme de la cinquieme formule, & ainsi des autres. Quant au dénominateur, il n'y a aucune difficulte c'est toujours la même quantité d affectée des expofans 1, 2, 3,

4, 5, 6, &c.

Q

qua

Mais 3 je remarque qu'on peut trouver ces formules indépendam ment les unes des autres; j'en donne un exemple dont on pourra faire l'application dans tous les autres cas. Il s'agit de trouver la formule de la cinquieme année. Pour avoir le premier terme il ne faut que prendre le produit de la quantité a

sa

d

nombre des années, qui eft 5, & le diviser par la raifon

C

b

par le

Pour avoir le fecond terme, & en général un terme quelconque, il faut prendre la différence entre le nombres des années, & l'expofant du dénominateur du terme qui précede immédiatement celui qu'on cherche, multiplier cette différence par le coefficient du numérateur du terme qui précéde celui qu'on veut trouver, & divifer le produit par le nombre qui exprime le rang du terme cherché; ainfi pour avoir le fecond terme de la cinquieme formule, j'ôte l'expofant 1 du dénominateur du premier terme du coefficients de fon numérateur, le refte eft 4, que je multiplie par 5, c'eft 20. Je divife 20 par 2 qui exprime le fecond rang, & le quotient to eft le coefficient du numérat ur du fecond terme. Pour trouver le troifieme terme, j'óte 2, expofant du dénomina

teur du fecond terme du coëfficient 5 du premier terme, qui exprime le nombre des années; il refte 3 ; je multiplie 3 par 10, coefficient du numérateur du second terme; c'eft 30 je divise 30 par 3, qui exprime le troisieme rang, & le quotient 10 eft le coefficient du numérateur du troifieme terme ; & ainfi des autres. J'ai déja dit que les expofans des dénominateurs d suivoient l'ordre des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, &c.

Si on appelle n le nombre des années, on pourra former, fuivant la méthode précédente, une formule générale, telle que voici :

Il fera facile d'étendre cette férie autant qu'on voudra; on pourroit auffi la transformer, par la multiplication, dans une autre formule; mais celle-ci eft plus fimple & plus commode, fur-tout pour l'application des logarithmes qu'il convient d'employer dans folution de ce problême.

Si à préfent nous voulons réfoudre par les nombres le problême que nous aurons propofé, nous aurons

D'où il résulte que les intérêts compofés, pour dix années, de dix mille livres au denier vingt, font 6288 liv. 18 f. 11 d. & 1354603 de denier.

12800

L'intérêt fimple de 10000 liv. pour dix ans, fe monteroit à 5000 livres feulement; d'où il fuit que l'intérêt d'intérêt eft de 1289 liv.

Cette opération eft un peu pénible, c'eft pourquoi nous allons en expofer une autre plus facile & moins longue.

Soit a le denier, b le denier avec son intérêt pour la premiere an née, c une somme quelconque dont on veut tirer l'intérêt compofé; soit auffi x = c + les intérêts compofés de c; on aura

Pour la premiere année a.

b::c.

bc

a

x.

b3c

a3

a3 a+

D'où il fuit que la fomme c, avec fes intérêts compofés, est égale au produit de c multiplié par la raison, élevée à une puissance dont l'expofant foit égal au nombre des termes du temps.

a

Si donc on appelle n le nombre des termes du temps, on aura & en faifant l'application des

la formule générale x — c×

bn

an

avec lesquelles on peut réfoudre toutes les queftions qui feront propofées fur les intérêts compofés. La formule log. c⇒log.x (log.xn) fervira pour tirer l'efcompte d'une fomme quel

a

conque.

Problême I. On veut connoître les intérêts compofés de 380 liv. pour huit ans, à 11 pour cent par an.

Solution. Log. x = log.c+nxlog.

b

a

2,942368: c'est le logarithme de 875,7 &c.; par conféquent les intérêts requis font environ 875 liv. 14 f.

b

+ log. c =

3,365568: c'est le

Problême II. On veut favoir à combien se monteront 800 livres avec leur intérêt compofé, en feize ans & demi, au denier 15. Solution. Log. xnxlog. logarithme de 2320; par conféquent 2320 livres font le montant de 800 livres & des intérêts compofés au denier quinze, pour seize ans & demi.

a

Problême III. On préfente 1037 livres pour la fomme & les intérêts compofés de 400 livres pendant dix ans ; on demande à combien c'eft pour cent.

Solution. Log.

b log.xlog.c

--

=0,041372, & ajoutant

deux unités à la caractéristique, on aura 2,041372; c'est le logarithme d'environ 110: donc c'est un peu moins de dix pour cent. Problême IV. On demande combien de temps courront 800 liv. au denier 17 par an, pour valoir 2500 livres avec l'intérêt com pofé.

Solution. n

log.xlog.c
log.

b

192124 ans ; ils courront envi

ron vingt ans. Cette formule peut fervir à trouver combien de temps courra une fomme, pour que les intérêts compofés égalent le capital.

Probléme V. On a reçu 700 livres pour capital & intérêts compofés, à raifon de 13 pour cent par an, pour neuf ans; on demande le capital.

Solution. Log, c = log. x- (nxlog.

rithme de 233,0 &c.; donc le capital requis eft 233 livres. Ce

problême