on auroit pu se paffer d'un fyftême numérique, qui probablement ne fera pas familier à tous les Lecteurs : mais le plus fouvent ces rapports ne peuvent être affignés exactement que par de grandes fractions, qui, dans la pratique, néceffitent des opérations longues & pénibles. On doit donc approuver que j'aie adopté un système numérique, trop peu en ufage peut-être, mais au moyen duquel on fera dans une demi - heure des calculs que fouvent on auroit peine à faire dans un jour entier par les méthodes ordinaires, fans compter que l'exactitude par ces dernieres méthodes, toutes laborieufes qu'elles font, ne fera jamais auffi grande que par celles que l'on croit devoir leur préférer.

J'emploierai donc le calcul décimal & celui des logarithmes, dont j'expoferai ici très-fuccinctement la théorie & la maniere de s'en fervir, pour la commodité des perfonnes qui n'en savent ni les principes ni l'ufage.

Le calcul par les décimales n'est qu'une extension du systême de la numération, connu de tout le monde. Dans ce systême on eft convenu que les chifres croîtroient en valeur par progreffion décuple, à mesure qu'ils feroient plus avancés d'un degré de la droite vers la gauche : par exemple, dans ce nombre 1, le premier chifre fur la droite vaut un; le fecond vaut dix fois un, ou dix; le troifieme, dix fois dix ou cent; le quatrieme, dix› fois cent ou mille, & ainfi des autres. Dans le calcul décimal on eft convenu de même que les chifres iroient en décroiffant en valeur par progreffion décuple de gauche à droite; par exemple, dans ce nombre 0,1111, le zéro marque la place des unités fimples, le premier chifre placé immédiatement à la droite du zéro, marque une quantité dix fois plus petite que un, c'eft-à-dire, un dixieme; le fecond chifre une quantité dix fois plus petite que un dixieme, c'est-à-dire, un centieme; le troisieme chifre exprime une quantité dix fois plus petite que un centieme, c'eft-à-dire, un millieme; le quatrieme chifre représente une quantité dix fois plus petite que un millieme, c'eft-à-dre, un dix-millieme. En un mot toute cette quantité 0,1111, eft la même chofe que plus plus plus ; ou en fomme Cette autre quantité 111,111 eft la même chofe que 111; cette autre 12.5 vaut 12; celle-ci 20.05 eft de même valeur que cette autre 20; celle-ci 209.005 la même que 209

10000

1000

cette autre 0,001 la même que cette autre enfin 17.507

507

la même que 17 10%, & ainfi des autres. Les nombres entiers font à la gauche du point, & les décimales, proprement dites, font à la droite. J'observe ici qu'au lieu du point j'ai presque toujours employé une virgule.

Refte à donner quelques exemple dess opérations que l'on fait avec les décimales.

L'Addition fe fait comme avec les nombres entiers. En voici des exemples:

120.534

172.503

52.400

0.999

346.436

La Souftraction fe fait auffi fur les décimales, comme sur les nom bres entiers. En voici des exemples:

La Multiplication par les décimales ne fouffre pas plus de difficultés que par les nombres entiers. En voici des exemples:

La Division est également facile. Voici des exemples:

Les quatre opérations de l'Arithmétique fe font donc fur les décimales de la même maniere que fur les nombres entiers; néan

que

moins il faut obferver 1°. que dans le produit de la Multiplication, il doit fe trouver autant de chifres ou autant de décimales à la droite du point ou de la virgule, qu'il s'en trouve dans le multiplicande & le multiplicateur; 2°. que dans la Division, le quotient doit contenir autant de décimales qu'il y en a plus dans le dividende dans le diviseur; ce que l'on voit par les exemples précédens. Les exaltations des puiffances & les extractions des racines fe font fur les nombres décimaux, en fuivant les mêmes principes: telle est une des méthodes numériques dont j'ai cru devoir faire ufage. La feconde méthode rendra les opérations encore plus faciles, puisqu'en s'en fervant, on fera par voie d'Addition & de Souftraction ce qu'on feroit obligé de faire par voie de Multiplication & de Division, en pratiquant les autres méthodes.

Les Logarithmes font les expofans d'une fuite de puiffances, ou, plus fimplement, les Logarithmes font une fuite de nombres en progreffion arithmétique, correspondans à des nombres naturels & ordinaires qui font en progrellion géométrique. Par exemple, dans les deux fuites ci-deffous,

2 par 4,

16
4, 5
,

la fuite fupérieure 1, 2, 4, 8 16, &c. eft celle des nombres en progreffion géométrique; & la fuite inférieure o, 1, 2, 3 ; 4, &c. eft celle des nombres en progreffion arithmétique, ou autrement, des Logarithmes. Si donc je veux faire ici une Multiplication par Logarithmes, par exemple, que je veuille multiplier dont le produit eft 8, je prends les deux logarithmes correfpondans à 2 & 4, favoir 1 & 2 ; j'en fais la fomme qui est 3, c'est le logarithme de 8. De même fi je veux divifer 16 par 4, dont le quotient eft 4, je ne fais que retrancher de 4, qui est le logarithme de 16, le nombre 2, qui eft le logarithme de 4; & la différence 2 eft le logarithme du quotient 4 ; & ainfi des autres. Si l'on veut élever un nombre à une puissance, par exemple, le nombre 2 à la feconde puiffance ou au quarré, on prend fon logarithme qui eft un, on le multiplie par 2, expofant de la seconde puiffance; & le produit 2 eft le logarithme du quarré 4. Si on veut élever le même nombre 2 à la troifieme puiffance ou au cube, on multiplie par 3 le nombre ; & le produit 3 eft le logarithme de 8, cube de 2,

H

Pareillement fi je voulois extraire la racine quarrée du nombre 16, je diviserois par l'expofant 2 le logarithme 4 du quarré 16; & le quotient 2 feroit le logarithme de 4, racine quarrée de 16. Si je voulois extraire la racine cubique du nombre 8, je diviferois par 3, expofant de la puiffance, le logarithme 3 du cube 8; & le quotient i feroit le logarithme de 2, racine cubique de 8; & ainfi des autres.

Il a été libre dans la conftruction des Tables de Logarithmes d'employer telles progreffions géométrique & arithmétique que l'on a jugé à propos; cependant on a préféré, comme plus commode, la progreffion géométrique décuple 1, 10, 100, 10, 100, 1000, 10000 &c. & pour progreffion arithmétique celle des nombres naturels o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, &c. enforte que l'on a eu les deux progreffions ci-dessous

,

dont la fupérieure représente les nombres ordinaires, & la feconde les nombres artificiels, c'est-à-dire, les Logarithmes.

Parlà on voit 1°. que les nombres intermédiaires entre 1 & 10, favoir 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, n'ont pu avoir pour logarithmes que des fractions de l'unité; 2°. que les nombres compris entre 10 & 100 ont eu pour logarithmes le chifre 1, suivi d'une fraction plus ou moins grande; 3°. que les nombres compris entre 100 & 1000 ont eu pour logarithmes le nombre 2, fuivi également d'une fraction, &c.

Pour rendre les opérations plus faciles fur les logarithmes fractionnaires, on les a tous exprimés en fractions décimales : pour cela, on a donné aux nombres entiers o, 1, 2, 3, 4, 5, &c. des logarithmes, le nom de caractéristique, & on les a fait fuivre d'un certain nombre de zéros pour repréfenter les décimales en - cette forte,

0.000000 ; 1.000000; 2.000000; 3.000000 &c.

Quelques Calculateurs ont employé fix zéros pour indiquer les décimales; d'autres en ont employé fept, & d'autres huit, fuivant qu'ils ont voulu avoir des logarithmes plus ou moins rigoureufement exacts.

dont la fupérieure eft celle des nombres ordinaires, & l'inférieure celle des logarithmes. Ainfi o. 000000 eft le logarithme de 1; 1.000000 eft le logarithme de 10, &c. Les autres logarithmes des nombres intermédiaires entre 1 & 10, entre 10 & 100, entre 100 & 1000, &c. fe trouvent tous calculés fur ces principes dans les Tables de logarithmes, dont l'inspection feule tiendra lieu d'une plus ample explication (*).

A l'égard des logarithmes des nombres moindres que l'unité, ils ont tous pour caractéristique des chifres négatifs, c'est-à-dire, précédés du signe — qui signifie moins; ainfi le logarithme de ou de o.1, eft- 1.000000; le logarithme de ou de 0.01, 2.000000; celui de ou de 0.001, eft

eft

-

100

--

3.000000;

& ainfi des autres. Mais les fractions intermédiaires entre 1 & auront pour logarithmes la caractéristique 1, fuivie de décimales pofitives; il en faut dire autant des logarithmes des fractions comprises entre &, qui feront compofés de la caractéristique 2, fuivie de décimales pofitives, &c. Tout ceci deviendra facile à entendre par des applications & des exemples.

19. L'on me propofe de multiplier 10 par 12 en me servant des logarithmes; pour cela, je cherche dans les Tables le logarithme de 10 & celui de 12, je les ajoute tous deux enfemble, & la fomme eft le logarithme du produit 120 des deux nombres 10 & 12; ce qui fe fait ainsi :

1.000000 logar. de 10, multiplicande.
1.079181 logar. de 12, multiplicateur.

2.079181 logar. de 120, produit.

(*) Les Tables de logarithmes font aujourd'hui très-multipliées. Nous en avons de plufieurs Auteurs; celles de Brigges, le premier qui en ait compofé d'après les principes de Nepper qui en eft l'inventeur; les grandes Tables d'Ulac, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 100000; celles de Gardiner, contenant les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 102100; celles de Rivard, qui contien– nent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 20000; les petites Tables d'Ulac & celles d'Ozanam, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 10000; celles de M. de Parcieux & celles de M. l'Abbé de la Caille, qui comprennent les logarithmes des nombres depuis 1 jufqu'à 10800. Les Tables de M. l'Abbé de la Caille & celles que M. l'Abbé Marie, Profeffeur de Mathématiques au College des QuatreNations, vient de publier, font les plus portatives & les plus commodes pour des voyageurs depuis 1 jufqu'à 20000.