On peut obferver fur cet exemple qu'ajouter une unité à la caractéristique d'un logarithme, c'eft multiplier par 10 le nombre auquel il appartient; fi on y ajoutoit deux unités, on multiplieroit le nombre correspondant par 100; fi on en ajoutoit trois on le multiplieroit par 1000, &c. Par le contraire, fi l'on retranche une unité de la caractéristique d'un logarithme, on divife par 10 le nombre auquel il appartient; on divife ce nombre par 100, fi l'on ôte deux unités de la caractéristique de fon logarithme, &c. 2o. Multiplier 19 par 23. Je prends dans les Tables les logarithmes de ces deux nombres, j'en fais la fomme que je trouve dans les Tables être le logarithme du nombre 437: c'est le produit cherché; ce qui fe fait ainsi :

1.278754 log. 19, multiplicande.
1.361728 log. 23, multiplicateur.

2.640482 log. 437, produit.

3o. Divifer 408 par 24. Je cherche dans les Tables de logarithmes, les logarithmes de ces deux nombres; je retranche le logarithme de 24 de celui de 408, & le refte est le logarithme du quotient 17; ce qui fe fait ainfi :

2.610660 log. 408, dividende.
1.380211 log. 24, divifeur.

1.230449 log. 17, quotient.

49. Les logarithmes des fractions décimales fe prennent dans les Tables comme ceux des entiers; feulement il faut avoir l'attention de retrancher de la caractéristique du logarithme tel qu'on le trouve dans les Tables, autant d'unités qu'il y a des décimales dans le nombre propofé. Par exemple, fi je défire d'avoir le logarithme de 4.5, ou, ce qui eft la même chofe, de 4 ;; je cherche dans les Tables le logarithme de 45, lequel eft 1.653213; je retranche une unité de fa caractéristique, & il refte o0.653213; c'eft le logarithme de 4.5 ou de 4. De même si je veux avoir le logarithme de 2.25, qui eft la même chofe que 24, je prends dans les Tables le logarithme de 225, qui eft 2.352183; je retranche deux unités de la caractéristique, il refte 0.352183; c'eft le logarithme de 2.25 ou de 24.

5. Lorfque les fractions ne font pas exprimées en décimales,

on en trouve également les logarithmes. Par exemple, que l'on veuille avoir le logarithme de 4, qui eft la même chofe que 2, on prend le logarithme de 9, qui eft 0.954243, dont on retranche le logarithme de 2, qui eft 0.301030; le refte 0.653213 est le logarithme de 4 ou de 4.5, comme nous l'avons déja trouvé. De même le logarithme de 2 ou de 2 fe trouve, en retranchant de 0.954243, logarithme du numérateur 9, le logarithme 0.602060 du dénominateur 4; & la différence 0.352183 eft le logarithme de 2, comme ci-dessus. Le logarithme de fe trouvera en cherchant celui de 25 & en retranchant deux unités de fa caractéristique, ou bien en prenant le logarithme 1, qui eft 0.000000, & en retranchant le logarithme de 4, qui eft 0.602060: l'autre méthode on trouvera que le logarithme deeft également - 1.397940. Il en eft de même des logarithmes de toutes les autres fractions.

par

l'une &

69. Par-là on voit que les fractions, ordinairement si pénibles par les nombres ordinaires, deviennent extrêmement faciles par les logarithmes; nous en ajouterons des exemples.

28

Multiplier 451 ou 45.28 par 33 ou 33.5. Voici la folution:

1.655906 log. 45.28, multiplicande.
1.525045 log. 33.5., multiplicateur.

3.180951 log. 1516.88, produit.

Multiplier 24 parou 0.25. Solution.

-

1.380211 log. 24, multiplicande.
1.397940 log. 0.25, multiplicateur.
0.778151 log. 6, produit.

Divifer 140 par 0.5. Solution.

2.146128 log. 140, dividende. - 1.698970 log. o.5, divifeur. 2.447158 log. 280, quotient,

Divifer par, ou bien 0.5 par 0.25.

Nous avons déja dit que pour élever un nombre à son quarré, il falloit multiplier par 2 le logarithme de ce nombre, & que le produit étoit le logarithme du quarré; que pour extraire la racine quarrée d'un nombre, il falloit divifer par 2 le logarithme de ce nombre, & que le quotient feroit le logarithme de la racine; que pour élever un nombre au cube, il falloit multiplier par 3 le logarithme de ce nombre; que pour extraire la racine cubique d'un nombre, il falloit divifer par 3 le logarithme de ce nombre: nous ajoutons qu'en général on trouvera le logarithme d'une puiffance quelconque, en multipliant le logarithme de la racine l'expofant de la puiffance, & que réciproquement on trouvera le logarithme d'une racine quelconque, en divifant le logarithme de la puiffance par l'expofant de la racine que l'on veut extraire. Nous allons donner des exemples de tous ces cas.

Elever 12 à fon quarré. Solution.

1.079181 log. 12.

2

2.158362 log. 144, quarré de 12.

Elever ou o.5 à fon quarré. Solution. -1.698970 log. 0.5.

2

1.397940 log. 0.25, quarré de o.5.

Extraire la racine quarrée de 144. Solution.

2

2.158362 log. 144 S2

par

21.079181 log. 12, racine de 144.

Extraire la racine quarrée de ou 0.25. Solution.

1.397940 log. 0.2552

Elever 12 à fon cube. Solution.

1.079181 log. 12.

3

-1.698970 log. o. 5, racine de,

3.237543 log. 1728, cube de 12.

Elever ou o.5 au cube. Solution.

1.698970 log. 0. 5.

3

1.096910 log. 0.125, cube de o.5.

Extraire la racine cubique de 1728. Solution.

3.237543 log. 1728 (3

1.079181 log. 12, racine cubique,

Extraire la racine cubique de ou de 0.125. Solution.

Obfervation importante. Pour élever un nombre fractionnaire plus petit que l'unité à une puiffance quelconque par les logarithmes, il faut multiplier à l'ordinaire le logarithme de ce nombre par l'expofant de la puiffance, ayant foin de retrancher les dixaines qui résultent du produit du chifre voifin de la caractéristique, du produit négatif de la caractéristique.

Et pour extraire la racine quelconque d'une puiffance numérique fractionnaire moindre que l'unité, il faut d'abord ajouter d'une part, à la caractéristique négative, le nombre feulement néceffaire d'unités négatives, pour que cette caractéristique foit divisible fans refte, par l'expofant de la racine; & d'autre part, ajouter à cette même caractéristique un nombre d'unités pofitives, égal à celui des unités négatives ajoutées précédemment, & enfuite divifer à l'ordinaire le logarithme ainsi préparé, par l'expofant de la puiffance.

-

Soit, comme dans les exemples précédens, 1.698970 le logarithme de ou 0.5; le logarithme du quarré ou 0.25 fera 2+ 1.3979401.397940. Et pour extraire la racine quarrée de ou de 0.25, on préparera fon logarithme de cette forte: +1

+1

-1.397940

— 2.397940, & on le divisera par l'expo

fant 2, ayant foin de divifer féparément la fomme des unités négatives, & de joindre en dixaines celle qui eft pofitive avec le chifre qui fuit le point, pour avoir - 1.698970.

Donnons encore des exemples. Soit 2.823909 le logarithme de; le logarithme du quarré de cette fraction fera 3.647818. Et pour extraire la racine quar

4+ 1.647818

rée de 4

9009

900

on préparera fon logarithme

forte :

3.647818

I

4.647818, & on divifera par l'expo

fant 2, en obfervant ce qu'on a dit plus haut; & l'on aura 2.823909 logarithme de, racine cherchée.

Le Logarithme de 0.2, eft

1.301030,

-

3.903090.

3.204120.

-

Le Logar. de fon quarré 0,04, est — 2.602060. Le Logar. de fon cube 0.008, eft Le Logar. de fa 4. puiffance 0.0016, est Le Logar. de fa 5. puiffance 0.00032, est -- 4.505150, Le Logar. de fa 6. puiffance 0.000064, eft 5.806180. D'où il résulte que la caractéristique négative du logarithme d'une fraction moindre que l'unité, eft toujours compofée d'autant d'unités qu'il y a de zéros à gauche dans la fraction décimale & avant les chifres pofitifs; & vice verfá.

Reste à faire voir à préfent les avantages qui réfultent de l'emploi des décimales & des Logarithmes dans la réduction des mefures, des poids & des monnoies étrangeres à celles de Paris ou du Royaume.

J'obferve d'abord que j'ai réduit les mefures fimples de longueur à l'unité du pied de Roi ou pied de France; les mefures de longueur fervant à mesurer les étoffes, toiles & Merceries à l'unité de l'aune de Paris; les mesures itinéraires à l'unité de la lieue horaire de 20 au degré; les mefures pour l'arpentage des terres à l'unité de l'arpent de France, contenant 100 perches quarrées, la perche linéaire de 22 pieds de Roi; les mefures pour les grains & les autres marchandises feches à l'unité du boif feau de Paris; les mefures pour les liqueurs à l'unité de la pinte de Paris; les poids à l'unité de la livre, poids de marc; les monnoies d'or, d'argent, de cuivre & de compte, à l'unité de la livre tournois valant vingt fols. Ce fyftême d'évaluation fournit de grandes facilités dans le calcul, on va en juger.

1o. Je cherche dans les Tables qui font à la fin de cet Ouvrage la valeur du pied d'Angleterre ; j'y trouve ce nombre 0,9386, ce qui fignifie que le pied de Roi étant 1, celui d'An

gleterre