Nous traiterons d'abord les cas des groupes de k et de k 1 éléments neutres (*); de l'étude de ces deux cas particuliers apparaîtra une loi symétrique qui nous permettra d'étendre les résultats obtenus au cas des groupes de k-p éléments neutres.

Rappelons premièrement quelques définitions:

A k-p éléments du support d'une involution I, il correspond, en général, des groupes de n-k+p éléments, formant une involution I. Si les k -- p éléments choisis sont tels que l'involution I-* soit indéterminée, en ce sens que ses groupes soient individués, non plus par p éléments, mais par p + 1, on dit que ces groupes de kp éléments sont les groupes de k-p éléments neutres de première espèce de l'involution I". Ces groupes jouissent des propriétés suivantes :

-

p élé

k — 2(p + 1) éléments arbitraires du support d'une involution I figurent dans ("++) groupes de k ments de première espèce de cette involution.

n-p

Les groupes de n-p-1 éléments neutres de première espèce d'une involution I, forment une involution I Toute involution + possède ("P") groupes de p + 2 éléments neutres de première espèce.

1. Soit une involution I; les groupes de k éléments neutres peuvent se disposer de la façon suivante, par assemblages de k-1 éléments: k 2 éléments arbitraires

A1, A.,. Ax-2

(*) Désormais, pour abréger, nous entendrons par éléments neutres les éléments neutres de première espèce.

2

peuvent se joindre à 2 ("−4+1) éléments A., de manière à former autant de groupes de k-1 éléments,

A1, A.,..., A-2, A-1 ,

faisant partie d'un groupe de k éléments neutres de I. La correspondance entre chacun des éléments A,, A,,... A, et l'élément A,, est évidemment réciproque; par conséquent, le nombre des coïncidences (A,, A,, ...... A ̧_、)

Ce nombre représente le nombre des groupes de k éléments neutres de l'involution I, qui contiennent un élément multiple (k − 1) uple et un élément simple.

Cas particulier. Faisonsk-n-1; nous voyons que le nombre des groupes de n-1 éléments neutres d'une involution I, qui contiennent un élément (n — 2)uple est 2(n-2).

en

Ce résultat peut, du reste, se vérifier aisément effet, les groupes de n-1 éléments neutres d'une I., forment une involution ; cette involution contient 2(n-2) groupes, composés d'un élément (n d'un élément simple (*).

2)uple et

2. D'autre part, prenons a1 éléments du support d'une involution I,

(*) Voir, par exemple, le mémoire de M. ÉM. WEYR, Ueber Involutionen, n' Grades und Kter Stufe. (Sitzungsberichte der K. ACADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU WIEN, LXXIV, 11.)

il leur correspond des groupes de n — a + 1 éléments, formant une involution Iar: cette involution contient, d'après ce que nous venons de voir,

-a.

groupes de ka + 1 éléments neutres, composés d'un élément buple (b = k — a) et d'un élément simple A..

éléments A la correspondance entre chacun des éléments A, et l'élément A, est réciproque; par conséquent, le nombre des coïncidences (A,, A,, ... A.-、 A,) est

Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant : Une involution I" possède des groupes de k éléments neutres composés de deux éléments multiples associés, l'un d'ordre a, l'autre d'ordre b, en nombre

nous voyons que toute involution I, contient 2ab groupes