INTRODUCTION. règle qu'à l'égard de la première, etpwhich you will write the sum as you continuez ainsi de colonne en colonne find it. jusqu'à la dernière, an-dessous de laquelle vous écrirez la somme telle que vous la trouverez. L'ECOLIER. Voulez-vous avoir la bonté d'éclaircir cette règle par un exemple? LE MAÎTRE. SCHOLAR. Will you have the goodness to explain this rule by an example ? MASTER. Avec bien du plaisir. Qu'il soit question, par exemple, d'ajouter les for example, that it is required to add With great pleasure. Let us suppose, quatre nombres suivans, 6903, 7854, together the following numbers, 6903, 953, 7327, je les écris comme on les 7854, 953, 7327; write them as you see voit ci-après. below. 6903 7854 953 7327 23037 6903 7854 953 7327 23037 et après avoir souligné le tout, je co-and, after having drawn u line under the mmence par les unités, en disant 3 et whole, I begin with the units, and say, 4 font 7, et 3 font 10, et 7 font 17; 3 and 4 make 7, and 3 make 10, and 7 j'écris les 7 unités sous la première make 17; I write the 7 units under the colonne, et je retiens la dixaine pour first column, and retain the ten, to add it la joindre, comme unité aux nombres as a unit to the numbers of the following de la colonne suivante, qui sont aussi column, which are also tens. des dixaines. Passant à cette seconde colonne, je Passing to the second column, I say 1 dis, 1 que j'ai retenu et 0 font 1, et 5 which I have retained and 0 make 1, and font 6. et 5 font 11, et 2 font 13,5 make 6, and 5 make 11, and 2 make 13; j'écris 3 sous la colonne actuelle, et je I write 3 underneath, and retain for the retiens pour la dixaine une unité, que ten a unit, which I add to the succeeding j'ajoute à la colonne suivante, en disant column, saying, 1 and 9 make 10, and 8 1 et 9 font 10, et 8 font 18, et 9 font make 18, and 9 make 27, und 3 make 30; 27, et 3 font 30; je pose 0 sous cette I place O under this column for the three colonne, et je retiens pour les trois tens, and retain three units, which I add dixaines, trois unités que j'ajoute à la to the next column, saying 3 and 6 make colonne suivante, en disant pareille-9, and 7 muke 16, and 7 make 23; I ment 3 et 6 font 9, et 7 valent 16, et write 3 under this column; and, as there 7 font 23; j'écris 3 sous cette colonne, are no more columns, I advance the two et comme il n'y a plus d'autre colonne, tens one place, which would belong to the j'avance d'une place les deux dixaines next column, if there had been one. qui appartiendraient à la colonne sui-number 23037 is the sum of the four numThe vante, s'il y en avait une. Le nombre bers proposed. 23037 est la somme des quatre nom bres proposés. C'est une opération par laquelle on It is an operation, by which me numretranche un nombre d'un autre nombre ber is subtracted from another of the same de méme espèce pour connaître de com-kind, in order to know by how much the bien le plus grand surpasse le plus petit. greater surpasses the lesser. Pour la faire il faut écrire le nombre To effect it, you must write the number qu'on veut retrancher au-dessous de which you wish to subtract below the other, l'autre comme dans l'Addition; eas in Addition; und, having drawn a liné ayant souligné le tout, on retranche en under the whole, you subtract, in going allant de droite à gauche, chaque from right to left, euch lower number nombre inférieur; c'est-à-dire les unités from its corresponding upper, that is to des unités; les dixaines des dixaines; say, the units from the units, the tens from les centaines des centaines, &c. On the tens, the hundreds from the hundreds, écrit chaque reste au-dessous, et zéro &c. You write each remainder underneath, lorsqu'il ne reste rien. and a cipher, when nothing remains. Lorsque le chiffre inférieur se trouve When the lower figure is found greater plus grand que le chiffre supérieur cor than its corresponding upper figure, you respondant, on ajoute à celui ci dix add to this last ten units, which you have unités qu'on a en empruntant, par lain borrowing mentally a unit from the pensée, une unité sur son voisin ànext figure on the left, which should for gauche lequel doit, par cette raison, this reason be regarded as less by a unit ètre regardé comme moindre d'une in the succeeding operation unité dans l'opération suivante. Ayez la bonté de mettre en pratique Have the goodness to put in practice la règle ci-dessus? the above rule? Très-volontiers. Qu'il soit question Willingly. Let it be required, par exemple, de retrancher 5432 de for example, to subtract 5432 from 8954. J'écris ces deux nombres 8954. I write these two numbers as comme il suit: follows: Et en commençant par le chiffre des And, in commencing with the figures of unités, je dis 2 ôté de 4, il reste 2, que units, I say, 2 taken from 4 there rej'écris au dessous: puís passant aux mains 2, which I write underneath; then dixaines, je dis 3 ôté de 5, il reste 2 que passing to the tens, I say, 3 taken from 5, j'écris sous les dixaines. À la troisième there remains 2, which I write under the colonne, je dis 4 ôté de 9, il reste 5. tens. In the third column, I say, 4 taken que j'écris sous cette colonne. Enfin af om 9, there remains 5, which I write la quatrième, je dis 5 ôté de 8, il reste¡ under this column: finally, in the fourth, 3, que j'écris sous 5, et j'ai 3522, pour le reste de 5432, retranché de 8954. Pour achever d'éclaircir la règle, voici un second exemple. On veut ôter, 7987 de 27646. 27646 7987 19659 reste. Comme on ne peut ôter 7 de 6, on ajoute à 6 dix unités qu'on emprunte en prenant une unité sur son voisin 4; ct on dit 7 ôté de 16 il reste 9, qu'on écrit sous 7. I say, 5 taken from 8, there remains 3, which I write under 5; and I have 3522 for the remainder of 5452 subtracted from 8954. To elucidate the rule completely, here is a second example: I wish to take 7987 from 27646. 27646 7987 19659 As 7 cannot be taken from 6, I add to 6 ten units, which I borrow in taking a unit from the next figure 4, and say, 7 taken from 16, there remains 9, which I write underneath the 7. Passing to the tens, I cannot say 8 taken from 4, but 8 taken from 3 only, because, having just borrowed one, I hare diminished the 4 by a unit : as I cannot take 8 from 3, I add also to 3 ten units, Passant aux dixaines on ne peut pas dire 8 ôté de 4, mais 8 ôté de 3 seulement, parce que l'emprunt qu'on vient de faire a diminué 4 d'une unité; comme on ne peut pas ôter 8 de 3, on ajoute de même à trois dix unités qu'on em-which I borrow, by taking a unit from prunte, eu prenant une unité sur le the figure 6 to the left; and I then say, chiffre 6 de la gauche; et on dit alors 8 taken from 13, there remains 5, which 8 ôté de 13, il reste 5 qu'on écrit sous I write under 8; passing to the third coPassant à la troisième colonne on lumn, I say again, 9 taken from 5, or dit de même, 9 ôte de 5, ou plutôt 9 ôté rather 9 taken from 15, (by borrowing as de 15(en empruntant comme ci-dessus) before,) there remains 6, which I write il reste 6 qu'on écrit sous 9. under 9. 8. À la quatrième colonne, on doit dire, par la même raison, 7 ôté de 6 ou plutot de 16, il reste 9, qu'on écrit sous 7, et comme il n'y a rien à retrancher dans la cinquième colonne, on écrit sous cette colonne non pas 2 parce qu'on vient d'emprunter une unité sur ce 2; mais seulement 1, et on aura 19,659 pour le reste des deux nombres cidessus. DE LA PREUVE DE L'ADDITION L'ÉCOLIER. Qu'appelle-t-on preuve d'une opération d'arithmétique? LE MAÎTRE. C'est une autre opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude du résultat de la première. L'ÉCOLIER. Comment fait-on la preuve de l'Addition? In the fourth column, I say, for the same reason, 7 taken from 6, or rather from 16, there remains 9, which I write under 7; and, as there is nothing to subtract in the fifth column, I write under this column,not 2, because I have just borrowed a unit from this 2, but only 1; and I have 19,659 for the difference of the two given numbers. OF THE PROOF OF ADDITION SCHOLAR. What do you call proof of an arithme‹ tical operation? MASTER. It is another opération, which is performed to prove the correctness of the result of the first. SCHOLAR. How is the proof of Addition performed? Elle se fait en ajoutant de nouveau It is performed by adding again by parts, par parties, mais en commençant par but commencing on the left, the sums which la gauche, les sommes qu'on a déjà ajou- have been already added; I subtract the tées; on retranche la totalité de la pre- total of the first column from the part mière colonne de la partie qui lui ré- which corresponds with it in the sum unpond dans la somme inférieure: on derneath; I write the difference underécrit au-dessous le reste, qu'on réduit neath, which I reduce mentally into tens, par la pensée en dixaines, pour le that I may add it to the next figure of the joindre au chiffre suivant de cette same sum; and from the total I again submême somme, et du total, on retranche tract the amount of the upper column. I encore la totalité de la colonne supéri-proceed thus to the last column, the total eure; on continue ainsi jusqu'à la of which, taken from the lower sum, dernière colonne, dont la totalité re-should not leave any remainder, if the tranchée ne doit laisser aucun reste, si operation has been correctly performed. l'opération a été bien faite. LE MAÎTRE. Je l'ai déjà dit: c'est le résultat de l'opération appelée Multiplication. L'ÉCOLIER. MASTER. I have already told you. It is the result of the operation called Multiplication. SCHOLAR. Ne donne-t-on pas un nom commun Do you not give a common name to the au multiplicande et au multiplicateur? multiplicand and the multiplier? LE MAITRE. MASTER. Oui, car on les appelle aussi Facteurs Yes; for they are also called factors of du Produit, comine ayant concouru àthe product, as having concurred to form le former. it. Multipliez de même, le nombre des Multiply, in the same manner, the numdixaines du multiplicande, et au produit ber of the tens of the multiplicand, and to ajoutez les unités que vous aurez rete- the product add the units that you have nues; écrivez le tout au-dessous, s'il retained; write the whole underneath, if peut être marqué par un seul chiffre ; si it can be expressed by a single figure; if non n'écrivez que les unités de ce pro-not, write only the units of the product. duit, et retenez-en les dixaines, qui and retain its lens, which are hundreds, to sont des centaines pour les ajouter au add them to the next poduct, which will produit suivant, qui sera pareillement also be hundreds. des centaines. Continuez de multiplier successive Continue successively to multiply, folment, suivant la même règle, tous les lowing the same rute, all the figures of the |