Groupes et symétries: groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentationsEditions Ecole Polytechnique, 2005 - 193 pages La théorie des représentations de groupes, utilisant algèbre, géométrie et analyse, possède de multiples applications aux sciences physiques, en cristallographie, chimie, physique atomique et subatomique, ainsi que dans les théories de champ. Ce livre est une introduction à cette théorie, à l'usage des étudiants de mathématiques et de physique. Il s'adresse à des lecteurs ayant les connaissances d'algèbre linéaire du premier cycle universitaire. Des exercices pour chaque chapitre et des problèmes corrigés complètent le cours. L'objet de ce livre est de donner une première vue d'ensemble sur les groupes de symétries et leurs représentations. On y trouvera l'étude, à l'aide de la théorie des caractères, des représentations des groupes finis, dont les résultats principaux sont ensuite étendus, aux groupes compacts en utilisant l'intégrale de Haar. Dans la suite du cours, la notion d'algèbre de Lie est introduite, celle de groupe de Lie est étudiée en se limitant au cas des groupes de Lie linéaires, et les propriétés essentielles liant groupes et algèbres de Lie sont exposées. Les exemples fondamentaux pour la physique quantique, le groupe des rotations et le groupe spécial unitaire en dimension 2, sont étudiés en détails, leurs représentations irréductibles sont déterminées, et un chapitre traite des harmoniques sphériques. Enfin, on aborde sur des exemples l'étude des représentations du groupe spécial unitaire en dimension 3, introduisant les notions de racines et de poids, et l'on montre que la théorie des quarks apparaît comme conséquence des propriétés mathématiques du groupe de symétries. [Source : 4e de couv.] |
Table des matières
Introduction | 7 |
Les représentations de SU3 et les quarks | 8 |
Groupes et algèbres de | 10 |
Représentations des groupes finis | 20 |
222 | 39 |
Groupes de | 72 |
Les groupes de Lie SU2 et SO3 | 83 |
6 | 92 |
7 | 104 |
Les harmoniques sphériques | 110 |
5 | 116 |
8 | 119 |
26 | 139 |
Représentations de SU2 et de | 156 |
Coefficients matriciels et harmoniques sphériques | 191 |
Bibliographie | 199 |
Expressions et termes fréquents
algèbre de Lie appelle application associative base c'est-à-dire Calculer caractères chapitre classe classes de conjugaison coefficients complexe composante connexe conséquent considère continue correspondant d'après D'autre d'ordre d'où décomposition déduit définit définition Démonstration désigne Déterminer différentielle dimension finie directe de représentations effet égal éléments entier équivalente espace exemple Exercice existe exp(tX fonctions forme formule gauche général GL(n groupe compact groupe de Lie groupe fini harmoniques sphériques invariant isomorphisme l'algèbre l'application l'espace vectoriel l'identité l'opérateur lemme linéaire matrice mesure mesure de Haar Montrer morphisme multiplication nombre norme note obtient opérateurs orthogonale paramètre particulier poids polynômes pose produit scalaire Proposition propriétés relation représentation de dimension représentation de G représentations irréductibles restriction rotations seulement simplement Soient somme directe sous-espace vectoriel sous-groupe suivant symétrique table théorème théorie trouve unitaire utilisant valeur propre vecteur voit