157. Page 273. La même pensée approfondie et développée se retrouve dans Bossuet, Traité du libre arbitre, chap. IV.

158. Page 274. Le manuscrit de Descartes, que Clerselier avait prêté à Arnauld, est celui des Règles pour la direction de l'esprit, Regulæ ad directionem ingenii. L'ouvrage composé en latin parut pour la première fois en 1701, à Amsterdam, parmi les Opera posthuma cartesii. M. Cousin en a donné une traduction française au tome XI de son édition des œuvres de Descartes.

159. Page 277. Ici s'arrête l'emprunt fait à Descartes.

160. Page 282, Ces règles, comme on l'a annoncé plus haut (page 9 et note 6), sont empruntées à Pascal, dans le fragment intitulé de l'Art de persuader, que nous donnons à la suite de la Logique.

161. Page 282. De finibus, III, 26 et 27.

162. Page 283. Euclide, Éléments, lib. I, déf. 8.

163. Page 285. Ibid,, lib. V, déf. 3.

164. Page 286. Clavius, savant mathématicien, né à Bamberg en 1581, mort à Rome en 1612.

165. Page 286. Simon Stevin a vécu dans la dernière partie du seizième siècle et le commencement du dix-septième. On lui doit d'importants travaux qui ont enrichi la statique et l'hydrostatique d'un grand nombre de découvertes. Il a aussi laissé quelques ouvrages, entre autres un traité d'arithmétique d'où sont tirés les passages cités par Arnauld.

166. Page 289. « Ce n'est pas à la parole extérieure, c'est à la parole intérieure de l'âme que s'adresse la démonstration tout aussi bien que le syllogisme. Contre la parole extérieure on peut bien trouver des objections; mais on ne le peut pas toujours contre la parole du dedans. » Derniers analytiques, 1, 10, § 7, trad. de M. Barth. SaintHilaire.

167. Page 291. Sur l'origine des notions universelles, comme en beaucoup d'autres points la doctrine de la logique de Port-Royal, qui est le pur cartésianisme, est confirmée par Leibnitz.

<< Les sens, dit-il (Nouv. Ess. sur l'ent., avant-propos), quoique nécessaires pour toutes nos connaissances actuelles, ne sont point suffisants pour nous les donner toutes, puisque les sens ne donnent jamais que des exemples, c'est-à-dire des vérités particulières ou individuelles. Or, tous les exemples qui confirment une vérité générale de quelque nombre qu'ils soient, ne suffisent pas pour établir la nécessité universelle de cette même vérité, car il ne suit pas que ce qui est arrivé, arrivera toujours de même. Par exemple, les Grecs et les Romains et tous les autres peuples ont toujours remarqué qu'avant le décours de vingt-quatre heures le jour se change en nuit, et la nuit en jour. Mais on se serait trompé si l'on avait cru que la même règle s'observe partout, puisqu'on a vu le contraire dans le séjour de NovaZembla. Et celui-là se tromperait encore qui croirait que c'est au moins, dans nos climats, une vérité nécessaire et éternelle, puisqu'on

doit juger que la terre et le soleil même n'existent pas nécessairement, et qu'il y aura peut-être un temps où ce bel astre ne sera plus, avec tout son système, au moins en sa présente forme. D'où il paraît que les vérités nécessaires, telles qu'on les trouve dans les mathématiques pures, et particulièrement dans l'arithmétique et dans la géométrie, doivent avoir des principes dont la preuve ne dépende point des exemples, ni par conséquent du témoignage des sens, quoique sans les sens on ne se serait jamais avisé d'y penser. >>

168. Page 299. Euclide, Éléments, I, prop. 20.

169. Page 305. Ces Éléments sont d'Arnauld; on les trouve au tome XL de ses œuvres complètes.

170. Page 307. Lib. de Utilitate credendi, cap. XI.

171. Page 308. « Absit namque ut hoc in nobis Deus oderit, in quo nos reliquis animantibus excellentiores creavit. Absit, inquam, ut ideo credamus, ne rationem accipiamus sive quæramus; cum etiam credere non possimus, nisi rationales animas haberemus. Ut ergo in quibusdam rebus ad doctrinam salutarem pertinentibus, quas ratione nunquam percipere valemus, sed. aliquando valebimus, fides præcedat rationem, qua cor mondetur, ut magnæ rationis capiat et perferat lucem, hoc utique rationis est. » Epist. CXX Consentio ad quæstiones de Trinitate. Opp., t. II, col. 518. Mgr Sibour, archevêque de Paris, a rappelé ce beau passage dans son Discours pour l'établissement et l'inauguration de la fête des écoles, page 43.

172. Page 315. Montaigne, Essais, III, II.

avait peu

173. Page 325. A l'époque où parut l'Art de penser, il y d'années que Pascal et Fermat avaient appliqué l'analyse mathématique à l'appréciation des chances des jeux. Depuis, le calcul des probabilités a reçu des développements inespérés et acquis une importance considérable; mais il s'est de plus en plus séparé de la logique, à laquelle il touche cependant par tant de côtés. Parmi le petit nombre de philosophes qui, à l'exemple d'Arnauld, y ont donné place dans leurs ouvrages, nous citerons : S'Gravesande, Introd. à la Philos., liv. II, 27, 28, 29; Reid, Ess. sur les Facult. int., VII, chap. III; Prévost, Essais de Philos., tome II, p. 56-109; Damiron, Logique, II section, chap. III.

FIN DES NOTES DE LA LOGIQUE.

PASCAL.

DE L'ESPRIT GÉOMÉTRIQUE1.

On peut avoir trois principaux objets dans l'étude de la vérité : l'un, de la découvrir quand on la cherche; l'autre, de la démontrer quand on la possède; le dernier, de la discerner d'avec le faux quand on l'examine.

Je ne parle pas du premier; je traite particulièrement du second, et il enferme le troisième. Car, si l'on sait la méthode de prouver la vérité, on aura en même temps celle de la discerner, puisqu'en examinant si la preuve qu'on en donne est conforme aux règles qu'on connaît, on saura si elle est exactement démontrée.

La géométrie, qui excelle en ces trois genres, a expliqué l'art de découvrir les vérités inconnues; et c'est ce qui s'appelle analyse, et dont il serait inutile de discourir après tant d'excellents ouvrages qui ont été faits.

Celui de démontrer les vérités déjà trouvées, et de les éclaircir de telle sorte, que la preuve en soit invincible, est le seul que je veux donner; et je n'ai pour cela qu'à expliquer la méthode que la géométrie y observe; car elle enseigne parfaitement par ses exemples quoiqu'elle n'en produise aucun discours. Et parce que cet art consiste en deux choses principales, l'une de prouver chaque proposition en particulier, l'autre de disposer toutes les propositions dans le meilleur ordre; j'en ferai deux sections, dont l'une contiendra les règles de la conduite des démonstrations géométriques, c'est-à-dire méthodiques et parfaites, et la seconde comprendra celles de l'ordre géométrique, c'est-à-dire méthodique et accompli de sorte que les deux ensembles enferment tout ce qui sera nécessaire pour conduire du raisonnement à prouver et discerner les vérités, lesquelles j'ai dessein de donner entières.

SECTION PREMIÈRE.-De la Méthode des démonstrations géométriques, c'est-à-dire méthodiques et parfaites.

Je ne puis faire mieux entendre la conduite qu'on doit garder pour rendre les démonstrations convaincantes, qu'en expliquant celle que la géométrie observe.

Mais il faut auparavant que je donne l'idée d'une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne sauraient jamais arriver: car ce qui passe la géométrie nous surpasse; et néanmoins il est nécessaire d'en dire quelque chose, quoiqu'il soit impossible de le pratiquer.

Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s'il était possible d'y arriver, consisterait en deux choses principales: l'une de n'employer aucun terme dont on n'eût auparavant expliqué nettement le sens; l'autre, de n'avancer jamais aucune proposition qu'on ne démontrât par des vérités déjà connues; c'est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions. Mais pour suivre l'ordre même que j'explique, il faut que je déclare ce que j'entends par définition.

On ne reconnaît en géométrie que les seules définitions que les logiciens appellent définitions de nom, c'est-à-dire que les seules impositions de nom aux choses qu'on a clairement désignées en termes parfaitement connus: et je ne parle que de celles-là seulement.

Leur utilité et leur usage est d'éclaircir et d'abréger le discours, en exprimant par le seul nom qu'on impose ce qui ne pourrait se dire qu'en plusieurs, termes, en sorte néanmoins que le nom imposé demeure dénué de tout autre sens, s'il en a, pour n'avoir plus que celui auquel on le destine uniquement. En voici un exemple.

Si l'on a besoin de distinguer dans les nombres ceux qui sont divisibles en deux également d'avec ceux qui ne le sont pas, pour éviter de répéter souvent cette condition, on lui donne un nom en cette sorte j'appelle tout nombre divisible en deux également, nombre pair.

Voilà une définition géométrique : parce qu'après avoir clairement désigné une chose, savoir tout nombre divisible en deux également, on lui donne un nom que l'on destitue de tout autre sens, s'il en a, pour lui donner celui de la chose désignée.

D'où il paraît que les définitions sont très-libres, et qu'elles ne

sont jamais sujettes à être contredites, car il n'y a rien de plus permis que de donner à une chose qu'on a clairement désignée un nom tel qu'on voudra. Il faut seulement prendre garde qu'on n'abuse de la liberté qu'on a d'imposer des noms, en donnant le même à deux choses différentes.

Ce n'est pas que cela ne soit permis pourvu qu'on n'en confonde pas les conséquences et qu'on ne les étende pas de l'une à l'autre. Mais si l'on tombe dans ce vice, on peut lui opposer un remède très-sûr et très-infaillible: c'est de substituer mentalement la définition à la place du défini, et d'avoir toujours la définition si présente que toutes les fois qu'on parle, par exemple, de nombre pair, on entende précisément que c'est celui qui est divisible en deux parties égales, et que ces deux choses soient tellement jointes et inséparables dans la pensée, qu'aussitôt que le discours. en exprime l'une, l'esprit y attache immédiatement l'autre. Car les géomètres et tous ceux qui agissent méthodiquement, n'imposent des noms aux choses que pour abréger le discours et non pour diminuer ou changer l'idée des choses dont ils discourent. Et ils prétendent que l'esprit supplée toujours la définition entière aux termes courts qu'ils n'emploient que pour éviter la confusion que la multitude des paroles apporte.

Rien n'éloigne plus promptement et plus puissamment les surprises captieuses des sophistes que cette méthode, qu'il faut avoir toujours présente et qui suffit seule pour bannir toutes sortes de difficultés et d'équivoques.

Ces choses étant bien entendues, je reviens à l'explication du véritable ordre, qui consiste, comme je disais, à tout définir et à tout prouver.

Certainement cette méthode serait belle, mais elle est absolument impossible, car il est évident que les premiers termes qu'on voudrait définir en supposeraient de précédents pour servir à leur explication, et que de même les premières propositions qu'on voudrait prouver en supposeraient d'autres qui les précédassent; et ainsi il est clair qu'on n'arriverait jamais aux premières. Aussi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu'on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu'on n'en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve.

D'où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli.