fur le même arc de cercle, elles font comme confondues ensemble; ce qui rend plus fréquentes ou plus poffibles les méprifes, dans une matiere où elles ne font pas tolérables. Lorsqu'on donne au contraire la préférence au Quartier de réduction, chaque quantité se trouve à sa juste place, & toutes les opérations parlent, pour ainfi dire aux yeux. Il faut encore compter pour beaucoup, que fi l'inftrument eft groffiérement fait, on s'en apperçoit tout d'un coup & prefque fans examen. De la Construction des Tables des Latitu des croiffantes, & de la maniére de s'en fervir pour réfoudre les Problémes de Navigation. 229. L Es Méthodes précédentes de naviguer font fuffisamment exactes dans la pratique, pourvû qu'on ait foin,comme nous en avons expreffément averti de réduire fes routes chaque jour, & qu'on ne faffe jamais ces prétendues réductions générales auxquelles on a quelquefois recours, faute de connoître toute la limitation des regles ordinaires. Lorfque les routes font très-courtes, ou pour parler plus exactement, lorfque le changement en latitude eft médiocre, quoique la route puiffe être très-longue, la fuppofition qu'on fait que les lieues mineures ont été courues fur un parallele qui tient précisément le milieu entre les deux latitudes, n'eft fujette à aucune erreur fenfible. Mais si la différence en latitude eft fort grande, & qu'on ait en même tems beaucoup de lieues mineures à réduire, le défaut du moyen parallele peut devenir confidérable. Ainfi pour perfectionner l'art, & avoir un terme de comparaison auquel on puiffe recourir dans les rencon tres extraordinaires, on a befoin de quelqu'autre Méthode plus exacte. Trouver la différence en longitude avec exa Elitude pour les plus longues Routes, principalement pour celles qui font un "angle" de 45 degrez avec le Méridien. 230. L'unique expédient qui fe préfente pour éviter le défaut du moyen parallele, confifte à partager la route en de très-petites portions, & à en faire la réduction féparément. On peut rendre les parties plus ou moins petites; mais il eft certain que fi ona couru au NE, & qu'on confidére à part chaque portion de la route qui répond à une minute de différence en latitude, on pourra traiter à tous égards le petit triangle loxodromique comme parfaitement rectiligne. On n'aura auffi aucune erreur à craindre de la part du moyen parallele; puifqu'il feroit même indifférent de faire alors la réduction pour la longitude fur le parallele de la latitude du départ, ou fur celui de la latitude d'arrivée de la petite portion de route. Cette méthode eft extrêmement longue; mais outre qu'on peut l'abréger, il suffit de l'appliquer en particulier à une feule loxodromie comme celle du NE. 23 1. Lorfque deux routes font comprifes entre les mêmes latitudes, les différences en longitude qu'elles produifent, font exactement comme les Tangentes de leurs obliquités ou des angles qu'elles font avec le Méridien. C'eft ce qu'on appercevra aifément par un peu d'atten pour les tion. La différence en latitude étant la même deux routes, les lieues mineures feront comme les Tangentes des deux angles de rumbs de vent; & lorsqu'on réduira ces lieues mineures en lieues majeures, le moyen parallele parallele, quel qu'il foit, étant exactement le même, les deux différences en longitude feront encore dans le même rapport, elles feront toujours l'une à l'autre comme les Tangentes des deux rumbs de vent. C'est ce qu'on voit également en divifant les routes par petites portions. Les petites parties correfpondantes qui feront comprises entre les mêmes paralleles à l'Equateur, produiront de petites différences en longitude proportionnelles aux Tangentes des obliquités des rumbs de vent. Ainfi il fuffit de calculer une fois pour toutes, les différences en longitude pour une feule loxodromie, pour le NE, par exemple; & si on en compofe une Table, on la fera fervir pour les autres rumbs de vent, en ne faifant qu'une fimple proportion. La Tangente de 45 degrez eft à la longitude que fournit la Table pour le NE, comme la Tangente de l'obliquité de tout autre rumb de vent fera à la différence en longitude requife. 232. Il ne s'agit donc que de calculer immédiatement les différences en longitude pour le N E. Si AI(Fig. 53.) représente cette route, & qu'on la fuppofe divifée réellement en petites portions qui répondent à chaque minute de différence en latitude, toutes les parties AF, FG, GH, &c. de la loxodromie, feront égales entr'elles, & toutes les petites quantités LF, MG, NH, &c. avancées vers l'Eft, feront chacune d'un mille ou d'un tiers de lieue. Quant aux petites différences en longitude correfpondantes, elles augmenteront à mesure qu'on avancera vers le Pole: elles deviendront plus grandes dans le même rapport que le Sinus total fera plus grand que le Sinus complément de la latitude, ou que la Sécante de la latitude fera plus grande que le Sinus total. Les petits côtés LF, MG, NH, &c. qui repréfentent les lieues mineures, étant exactement d'un mille ou d'un tiers de lieue, nous ferons cette analogie; le Sinus total eft à un mille comme la Sécante de chaque latitude fera à la petite diffé rence en longitude, ou au petit arc de l'Equateur corref pondant. Hhh 233. Il fuit de-là que nous n'avons qu'à prendre fucceffivement dans les Tables des Sinus, toutes les Sécantes de minute en minute,& les ajouter ensemble; & que fi nous retranchons 5 figures à la droite, celles de la gauche nous donneront les différences en longitude, exprimées en minutes pour le N E. C'eft de cette forte qu'on a calculé la Table que nous inférerons à la fin de ce Chapitre. Si on y cherche vis-à-vis de 62 deg. o min. on trouvera 4775 parties ou minutes, parce que la fomme de toutes les Sécantes de minute en minute donne 4775 milles majeurs ou minutes pour la différence en longitude totale, lorfqu'on part de l'Equateur, & qu'on court au N E jufques par 62 deg. de latitude. Si après qu'on a trouvé la différence en longitude pour 62 deg. de latitude, on veut trouver de combien elle augmente lorfqu'on continue à courir au NE jufques par 62 deg. 10 min. il n'y a qu'à ajouter les dix Sécantes fuivantes, & retrancher toujours cinq figures à la droite pour tenir lieu de la division par 100000; il viendra 21 minutes, ou plutôt 21.35316 pour l'augmentation, & on aura 4796 minutes valeur de 79 deg. 56 min. pour la différence en longitude totale. 234. La Table qui indique ces quantités, porte le nom de Table des Latitudes croiffantes, parce qu'elle marque en même tems les accroiffemens qu'on doit donner aux degrez du Méridien dans les Cartes réduites. On peut fe reffouvenir que nous fuivions précisément en effet la même méthode dans le fecond Livre * pour les déterminer. Ce font deux différentes vûes qu'on peut avoir en faifant la même opération : on peut en cherchant la fomme de toutes les Sécantes dont on retranche cinq figures, fe propofer de découvrir les différences en longitude exprimées en minutes pour le NE; ou bien vouloir trouver l'extenfion qu'il faut donner aux parties du Méridien dans les Cartes Marines. Plufieurs Auteurs & principalement Snellius, ne s'occupérent que du premier de ces objets fans jamais penser au fecond qui en étoit néanmoins fi : voifin ils ne firent pas cette remarque qui nous paroît maintenant fi fimple, qu'auffi-tôt qu'on veut repréfenter les rumbs de vent par des lignes droites fur les Cartes, il faut donner aux parties du Méridien des longueurs exactement égales aux changemens de longitude produits par le NE. I I. Seconde Méthode de calculer les différences en longitude pour les Rumbs de vent dont l'obliquité eft de 45 degrez. 235. Nous avons une autre méthode beaucoup plus courte pour trouver les différences en longitude pour le NE; mais dont il fera d'un autre côté beaucoup plus difficile d'appercevoir la raison. On prendra dans les Tables des Logarithmes-Sinus & Tangentes dont la caractéristique eft suivie de fept figures, les Tangentes logarithmiques qui répondent à la moitié de la diftance de chaque latitude à un des Poles; on prendra toujours la différence de ces Logarithmes, & la divifant par le nombre constant 1263, on aura au quotient la différence en longitude requife exprimée en minutes. par 236. Premier Exemple. Suppofons qu'on foit parti de l'Equateur, & qu'en courant au NE, on foit arrivé 62 degrez de latitude. L'Equateur & le parallele de l'arrivée font éloignés du Pole du Nord, de 90 degrez & de 28; la moitié de ces diftances eft 45 deg. & 14. J'en cherche les Logarith. Tang. 10.0000000, & 9.3967711, & divifant leur différence par 1263, il me vient 4775 minutes pour la différence en longitude; ce qui s'accorde parfaitement avec la Table des latitudes croiffantes. 237. Second Exemple. On part de 30 degrez de latitude Sud, on court au NE jufques par 70 degrez de latitude Nord; & on demande la différence en longitude. On n'a qu'à prendre la diftance des deux paralleles jufqu'à l'un ou |