remonter à l'équation d'où dérivent les racines ci-des sus, et on trouvera x3 — 3АBux — A3u — B3u3 — 0. En comparant cette résultante avec il vient x3 +px+q=0, 1 p=-3ABu, q3u B3u2. Comme il y a dans ces deux équations trois indéterminées, A, B et u, on peut s'en donner une à volonté. Euler a fait 4=1, ce qui donne B= tuant dans l'expression de q, on obtient P 3u Substi De q3u-B3u, on tire B3ua —— q— Â3u=qVp3 +9 BV w2 = q = V p3 + £ q°• Ces expressions donnent pour x, la valeur du no 19. Au lieu de former l'équation x3-34Bux A3u B3u2 = à priori, comme je l'ai indiqué ci-dessus, Euler se sert d'un moyen qui peut être commode dans beaucoup d'occasions, pour reconnaître si une expression proposée est la racine d'une équation donnée. Il substitue dans l'équation 3+px+q=o, au lieu de ret de x3, les valeurs 3 3 3 = 0. Pour que la valeur Aνu+Bуu2 convienne à tous les cas de l'équation x3 + px + qo, il faut que 3 l'équation ci-dessus puisse avoir lieu, quand même Vu 3 et Vu2 seraient des quantités irrationnelles différentes. Il suit de là que les termes rationnels doivent se détruire à part, ainsi que les termes irrationnels on doit donc avoir séparément A3u+B3u2+q=0, 34-Bu+pA≈o, 3AB3u+pB=0; les deux dernières équations, ne sont autres que.... 3ABU+po, multipliée d'abord par A et ensuite B. Ce procédé conduit, comme on voit, au même résultat que le précédent. par 69. Je ne suivrai point Euler dans les détails de l'application de sa méthode au quatrième et au cinquième degré; jo me bornerai à donner l'expression des racines, et pour cela, je ferai d'abord observer que celles de l'équation y—10 sont y=1, y=-1, y=+VF1, y=-V=1. En multipliant par ces valeurs la quantité Vu, on aura les quatre expressions dont elle est susceptible; formant ensuite leur quarré et leur cube, on trouvera les diverses expressions de Vu et de Vu3; et combinant ensemble les résultats fournis par une même valeur de y, on aura L'équation dont on vient de former les racines étant obtenue, on la comparera à 4+p.x2+qx+r=0; et comme on n'aura encore que trois équations, on pourra prendre arbitrairement l'une des quatre indé– terminées A, B, C, u. Euler fait ici B=1, et parvient, par ce moyen, à une équation du troisième degré en u ; mais s'il eût fait u=1, et qu'il eût voulu déterminer B ̧ il serait tombé sur une du sixième, et sur une du vingtquatrième, s'il avait cherché ou C. En désignant par a, ß, y et ♪ les quatre racines de l'équation y3-1=0, autres que l'unité, les cinq expressions de Vu seront 5 5 Vu, et en formant leurs puissances, on trouvera que cines de l'équation du cinquième degré seront 5 5 x = A Vu+ BV w+ CVW3+ DVW, 5 5 5 Pour former l'équation à laquelle appartiennent ces racines, Euler emploie le procédé du n° 9; mais, quoique bien simplifié par ce moyen, le calcul est trop long pour trouver place ici. (Voy. les Novi Comment. Acad. Petrop, tom. IX, pag. 88.) 70. On peut aussi se servir du procédé indiqué dans le n° 66, pour former l'équation dont la racine est x=AVũ+B√w2+C↓ñ3+DV w .... + MV w¬‚ on fera Vu―y, et on aura à éliminer y entre les deux équations x= Ay+By2+ Cy3 + Dy4....+ My”—1. L'équation finale ne montera qu'au degré n (10), et n'aura point de second ternie; en la comparant terme à terme avec la formule générale il y 1-2 x2 + Рx22+Qx2-3....+U=0, on obtiendra un nombre n-1 d'équations; et comme entrera n indéterminées, A, B, C, .... u, on pourra se donner une de ces indéterminées à volonté. Si l'on fait, par exemple, u=1, on tombe sur les deux équations auxiliaires x=Ay+By+Cy3+ Dy4.....+ Myn−1, employées par Bézout dans la méthode qu'il a proposée pour résoudre les équations (Mém. de l'Acad. de Paris, année 1765, p. 533), et qui revient, ainsi qu'on le voit, à celle d'Euler. Pour former, par l'une ou par l'autre des méthodes exposées ci-dessus, l'équation dont on a la racine, on ne rencontre d'autre difficulté que la longueur des calculs ; mais lorsqu'on cherche à déterminer les quantités A, B, C,... a, par la comparaison du résultat avec l'équation générale du degré n, on tombe dans des calculs presque impraticables qui conduiraient à une équation finale, ou une réduite, dont le dégré surpasserait de beaucoup celui de la première. 71. Il est visible que lorsqu'on prend une expression radicale qui ne contient pas autant d'indéterminées que l'équation générale du degré auquel elle se rapporte renferme de coefficiens, l'évanouissement des radicaux ne conduit qu'à une équation particulière; je vais en donner un exemple. 'Soit seulement l'expression l'équation qui la détermine s'obtiendrait bien par le dernier procédé du no 66; mais on parvient plus aisément à la loi que suivent les termes de cette équation, en formant les valeurs des expressions n n -√√√AB, analogue à celle qui est désignée par (4) dans le no 56. Si l'on remplace V7+VB par x, et qu'on fasse |