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lignes DG, DF étant égales à AC, feront égales entr'elles.

Démonftration.

Dans le Triangle DFG, les côtez DF & DG font égaux ; & par confequent les angles DFG, & DGF, le feront auffi : mais l'angle EGF eft plus petit que DGF; & l'angle EFG eft plus grand que DFG; donc dans le Triangle EFG, l'angle EFG étant plus grand que l'angle EGF, le côté EG oppofé à ce plus grand angle, fera plus grand que le côté EF oppofé au plus petit. Donc BC égal à EG, eft plus grand que la bafe EF, C. Q. F. premierement D.

Que les côtez AB, DE, AC, DF, Fig, 54 des Triangles ABC, DEF, foient égaux; & ss. & que la bafe BC, foit plus grande que la bafe EF; je dis que l'angle A fera plus grand que l'angle D.

Si l'angle A n'étoit pas plus grand que l'angle D, il feroit ou égal; & en ce cas les bafes BC, EF feroient égales (par la 4.) ou il feroit plus petit, & la bafe EF feroit plus grande que la base BC. L'une & l'autre eft contre la fuppofi

tion.

D

Fig. 56.

& 57.

PROPOSITION XXVI.

THEOREM E..

que

Si un Triangle a un côté égal à celui d'un autre Triangle, & les angles aux extrêmitez de ces côtez, foient égaux les uns aux autres, ces Triangles feront égaux en tout fens.

S DE

Oient les deux Triangles A B C & DEF, dont le côté BC du premier eft égal au côté EF du fecond; auffi bien que les angles qui font à leurs extrêmitez, c'eft-à-dire, l'angle B égal à l'angle E, & l'angle C à l'angle F. Je dis que ces deux Triangles ont tous leurs côtez égaux chacun au fien, auffi bien que leurs angles.

Démonftration.

Appliquez par penfée ces deux Triangles l'un fur l'autre, en telle forte que les deux côtez B C & EF conviennent parfaitement ; cela étant l'angle B n'excedera pas l'angle E, non plus que l'angle C l'angle F; or les côtez AB & DE rencontreront femblablement, les deux autres côtez AC & FD à un point qui ne fera

qu'un avec A & D. L'angle A sera donc égal à l'angle D; c'eft pourquoi ces Triangles feront égaux (par la 8.) puifque chaque angle de l'un vient tomber fur chaque angle de l'autre.

USAGE.

Si l'on vouloit connoître la longueur d'u- Fig. 58. ne distance inacceffible, on le pourroit trèsfacilement par cette Propofition, Soit, par exemple, la diftance AD qu'on cherche ; il faut pour la trouver commencer à élever de l'extrémité A une perpendiculaire AC, c'est-à-dire, que l'angle CAD foit droit, enfuite prenant AC pour bafe on obfervera le point D, pour que de l'extrémité C, on puiffe faire un angle ACD, avec la bafe &le rayon vifuel CD qui va rencontrer le point D: cela étant fait, il faut prolonger le côté AD, pour avoir AB, dont L'extrémité B fera terminée par le rayon CB, qui doit faire avec la bafe AC, même angle que le précedent ACD. Comme on peut parcourir la ligne AB, il est facile de la mefurer, & de connoître la dif

tance AD.

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USAGE I I.

le

On peut trouver une distance inacceffible d'une maniere plus commode que la précedente; car celle-ci vous affujettit à avoir befoin d'une grande étendue.

& 61.

Voici une pratique dont je me fuis fervi pour connoître la largeur du Pas de Calais, c'est-à-dire, la diftance qu'il y a du rivage de Calais, aux côtes d'Angleterre. F'ai pris fur le bord de la Mer une base d'une extrême grandeur ; pour n'avoir pas la pcine de la mefurer, j'en ai fait une plus petite qui m'a donné la grande par un calcul Fig. 60. de Trigonometrie, & voici comme j'ai operé, foit, par exemple, la bafe AB de deux mille toifes, aux extrêmitez de laquelle il y a des mirres, c'est-à-dire, quelque chofe qui puiffe fe voir de loin, ayant pris l'angle ABC formé par la bafe, le rayon BC, qui va rencontrer un objet au point C, je fuppofe cet angle de 86. degrez; fi de l'extrémité A vous faites un fecond angle, dont le rayon AC aille rencontrer le point C, cet angle, par exemple, fera de 69. degrez; prefentement il ne s'agit que de faire une Echelle fur le Papier, &y rapporter la longueur AB, & les deux angles A & B, dont les côtez prolongez formeront un Triangle femblable au premier, & fi du point angulaire, oppofé à la bafe, vous faites tomber une perpendiculaire fur cette même bafe, cette ligne fera la diftance que l'on cherche, laquelle peut fe connoître par l'Echelie an Triangle.

LEM ME.

Si deux lignes droites & paralleles viennent aboutir fur une autre ligne droite, les angles qu'elles formeront de même part feront égaux entr'eux.

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Es lignes AB & CD font fuppofées Pl. 3. paralleles, les extrêmitez B & D fe Fig. 44 terminent fur la ligne EF; je dis que les angles ABD, CDF font égaux. Ceci eft naturel; car fi ces angles n'étoient pas égaux, ces lignes ne feroient pas paralleles, d'autant qu'elles fervient inégalement inclinées fur la bafe EF; il s'enfuit donc qu'étant paralleles elles feront également inclinées, & que par confequent les angles ABC, CDF, qu'elles forment de même part, font égaux. Ceci eft trop clair pour avoir besoin d'une démonftration plus étenduë.

Les Propofitions 27, 28, 29, & 30,. ne contiennent pour ainfi dire que la même chofe expliquée differemment ; c'est pourquoi j'ai crû faire plaifir aux Commençants en les reduifans toutes dans une feule, qui eft la fuivante..

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