angle ACB, eft auffi égal à fon alterne CAF, le troifiéme angle BAC eft commun; ce qui fait voir que les trois angles propofez, dont la fomme vaut deux droits, font égaux aux trois angles du Triangle C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

L'angle exterieur d'un Triangle,eft plus grand que chacun des deux autres interieurs oppofez; ce qui eft bien évident, puifqu'il les vaut tous deux.

2. Les deux angles d'un Triangle pris ensemble valent moins que deux droits. Ceci eft inconteftable, puifque nous avons démontré qu'il les faloit tous trois pour les valoir.

3. Les trois angles d'un Triangle pris enfemble, font égaux aux trois angles d'un autre Triangle; ceci eft bien vrai, puifque dans l'un & dans l'autre les trois an→ gles valent deux droits, & comme les angles droits font invariables, ceci doit être general.

4. Si les deux angles d'un Triangle font égaux aux deux angles d'un autre Triangle, leurs troifiémes angles le feront auffi.

5. Si dans un Triangle, il se trouve un angle droit, les deux autres feront aigus, & ces deux angles aigus vaudront enfemble un droit.

Pl. 4. Fig 67.

6. Chaque angle d'un Triangle équilateral,eft de 60. degrez; & par confequent les trois angles pris ensemble, vaudront 180. degrez. Ce qui eft general dans tous les Triangles rectilignes ; foit qu'ils foient ifoceles, ou rectangles, ou ambligones, ou scalenes, ainfi des autres.

PROPOSITION XXXIII.

THEOREM E.

Les deux lignes font égales & paralleles, qui font tirées du même côté, par les extrêmitez de deux autres lignes paralleles & égales.

Q

UE les lignes AB, CD foient paralleles & égales, & qu'on tire les lignes AC, BD, par leurs extrêmitez du même côté : Je dis que les lignes AC, BD font égales & paralleles. Tirez la diagonale BC.

Démonftration.

Puifque les lignes AB, CD font paralleles; les angles alternes ABC, BCD seront égaux. Ainfi les Triangles ABC, BCD, qui ont le côté BC commun, & les côtez AB, CD égaux, avec les an

gles ABC, BCD, auront les bafes AC, BD, égales (par la 4. ) comme auffi les angles DBC, BCA: lefquels étant alternes, les lignes AC, BD font paralleles. USAGE.

On met en pratique cette Propofition pour mefurer tant les hauteurs perpendiculaires AG des montagnes, que les lignes horizontales CG, qui font cachées dans leurs épaiffeurs. Servez-vous d'une équerre fort longue, ADB, que vous mettrez au point A, de forte que fon côté DB foit à plomb. Mefurez les côtez AD, DB, faites-en de même au point B, & mefurez BE, EC: les cotez paralleles à l'horizon,c'est-à-dire,AD, BE ajouté enfemble, donnent la ligne bori zontale CG; & les côtez à plomb DB, EC, donnent la hauteur perpendiculaire AG. Cette façon de mesurer fe nomme cul

tellation.

Ceste Propofition peut encore fervir pour mefurer fur la terre une ligne acceffible par fes deux extrémitez, & inacceffible par le milieu. Car fi l'on tire de fes deux extrêmitez deux lignes quelconques égales & paralleles, & qu'on mefure la ligne qui joint les extrêmitez de ces deux mêmes lignes, on aura la grandeur de la ligne propofée fur la terre Voyez la Geométrie Pratique des Ingenieurs.

PL 4:

Fig, 68

Fig. 67.

PROPOSITION XXXIV.

THEOREM E.

Les côtez, & les angles oppofez dans un parallelograme, font égaux; & la diagonale le partage en deux également.

Pl. 4. UE la figure ABDC foit un paralles côtez AB, CD, AC, BD, foient paralleles. Je dis que les côtez oppofez AB, CD & AC, BD, font égaux auffi bien que les angles BAC & BDC; ABD, ACD: & que la diagonale BC partage toute la figure en deux également.

Démonftration.

Les lignes AB, CD, font fuppofées paralleles : donc les angles alternes ABC, BCD, feront égaux. Pareillement les côtez ÁC, BD, étant fuppofez paralleles, les angles alternes ACB, CBD feront égaux. De plus, les Triangles ABC,BCD, qui ont le même côté BC, & les angles ABC, BCD, ACB, CBD égaux, seront égaux en tous fens (par la 26.) Donc les côtez AB, CD; AC, BD, & les angles A & D font égaux : & la diagonale

CB, partage la figure en deux également: & puifque les angles ABC, BCD, ACB, CBD font égaux,mettant ensemble ABC, CBD; BCD, ACB, nous concluons que les angles oppofez ABD, ACD feront égaux étant formés de ces angles égaux.

USAGE.

Les Arpenteurs ont quelquefois befoin de cette Propofition, pour faire des partages. Si un champ eft parallelograme, on le peut partager en deux également par la diagonale AD. Que fi on eft obligé de le partager par le point E, divifez la diagonale AD, en deux également en F, & tirez la ligne EFG, elle partagera la figure en deux également. Car les Triangles AEF, FGD qui ont les angles alternes EAF, FDG, AEF, FGD, & les côtez AF, FD égaux, font égaux (par la 26.) Et puifque le trapeze BEFD, avec le Triangle AFE, c'efl-àdire, le Triangle ADB, eft la moitié du parallelograme (par la 34. ) le même trapeze EFDB, avec le Triangle DFG, fera la moitié de la figure. Donc la ligne EG la divife en deux également.

Pl. 4.

Fig. 69.

La Propofition inverse de ce Theorême eft aufft véritable, fçavoir que fi les côtez Fig. 67. oppofez AB, CD, font égaux, auffi bien que les deux oppofez AC, BD, la figure ADBC fera un parallelograme, à caufe de