le second terme, c'est multiplier par la fraction in verse qui a pour numérateur le second terme & pour dénominateur le premier, & qui est par conféquentle quotient de la division du second terme par le premier.

Donc on aura le quatriéme terme d'une proportion géométrique, en multipliant son troisieme terme par le quotient du second terme divisé par le premier, comme dans le premier cas.

Par exemple, si une proportion géométrique commence par ces trois termes 12:8::20:, & qu'on veuille avoir le quatriéme terme, on divisera le premier terme i 2 par le second 8; & l'on aura pour le quotient la fraction, qui sera le nombre de fois que le second terme 8 est contenu dans le premier 12, ou que le quatriéme terme qu'on cherche est contenu dans le troisiéme 20.

Ainsi en divisant 20 par, on doit évidemment avoir le quatriéme terme. Mais diviser 20 par la fraction, c'est le multiplier par la fraction inverse (N°. 72.).

Ainsi l'on aura le quatriéme terme de la proportion dont les trois premiers sont 12:8::20:, en multipliant le troisiéme terme 20 par la fraction, qui est le quotient du second terme divisé par le premier ; & ce quatriéme terme étant 13, la proportion entiere sera 12:8:: 20:13.

104 Multiplier un nombre par une fraction, c'est le multiplier par le numérateur de la fraction, & di viser le produit par le dénominateur de la même fraction (N°. 67.). Donc puisqu'on trouve le quatriéme terme d'une proportion, en multipliant fon troisiéme terme par une fraction qui a le second terme

r

pour numérateur & le premier pour dénominateur, on aura ce quatriéme terme en multipliant le troisiéme par le second, & en divisant le produit par le premier terme; c'est-à-dire, que le quatriéme terme sera égal au produit du second & du troisiéme termes, qui font les moyens de la proportion, divisé par le premier.

Par exemple, si une proportion géométrique commence par ces trois termes 2:3::7:, & qu'il faille en trouver le quatriéme terme, il faudra multiplier le troisiéme terme 7 par la fraction (No. 103.) c'est-à-dire, qu'il faudra multiplier 7 par 3 & diviser le produit par 2 (N°. 67.); ce qui donnera ou 10 pour le quatriéme terme. Ainsi la proportion sera 2:37:10.

105 Donc si les trois premiers termes d'une proportion géométrique sont donnés, par exemple, ces trois nombres 2:3::7:, on pourra toûjours mettre le troisiéme 7 à la place du second 3, & le second 3 à la place du troisiéme 7 (comme ici 2:7::3:) fans qu'il en arrive aucun changement dans le quatriéme terme qu'on doit trouver ; parce que le quatriéme terme est égal au produit des moyens divisé par le premier (N°. 104.), & que dans ces deux arran

gemens 2:3::7: } les moyens étant les mêmes

2:7::3:

aussi-bien que le premier terme, il n'y aura point de changement dans le produit des moyens divisé par le premier terme.

Il nous arrivera souvent de changer d'ordre le second & le troisième termes d'une proportion, dont nous aurons le quatriéme terme à trouver par le moyen des trois premiers,

COROLLAIRE III.

106 Puisqu'on trouve le quatriéme terme de tou te proportion géométrique, par exemple, de celleci 2:3::4:6, en multipliant le troifiéme terme par le second, & en divisant le produit par le premier, il en résulte que le produit des extrêmes d'une proportion géométrique est égal au produit des moyens de la même proportion, c'est-à-dire, que 6x2 & 4×3 font des produits égaux.

Pour le prouver, l'on observera que deux choses égales, telles que le quatriéme terme d'une propor tion d'une part, & de l'autre part le produit du troisiéme & du second divisé par le premier, étant multipliées par une même quantité, savoir, par le premier terme de la proportion, donnent nécessairement des produits égaux.

Mais 1o. le quatriéme terme étant multiplié par le premier, donne le produit des extrêmes. 2°. Le produit du troisiéme terme de la proportion par le second divisé par le premier, étant multiplié par le premier, il en résulte le produit du troifiéme par le second, c'est-à-dire, le produit des moyens; parce que la multiplication que l'on fait par le premier terme, détruit la division qu'on a faite par ce premier terme. Donc le produit des extrêmes d'une proportion géométrique, est égal au produit des moyens de la même proportion.

COROLLAIRE IV.

107 Le produit des extrêmes d'une proportion géométrique étant égal au produit des moyens, fi l'on divise ces deux produits par un extrême ou par

in moyen, l'on trouvera que chaque terme extrême d'une proportion est égal au produit de moyens divisé par l'autre extrême, & que chaque terme moyen est égal au produit des extrêmes divisé par l'autre moyen,

Ainsi lorsque trois termes d'une proportion géométrique feront donnés, & que l'on connoîtra l'ordre suivant lequel ces trois termes font disposés dans la proportion, l'on fera en état de trouver le terme qui manque dans cette proportion; parce qu'on saura si ce terme à trouver est un extrême ou un moyen, & que nous avons appris à trouver un extrême ou un moyen, en employant les trois autres termes de la proportion.

CHAPITRE II.

De la Regle de Trois, & de ses différentes especes.

108

LO

DÉFINITIONS.

ORSQUE l'on connoît trois termes d'une proportion géométrique, l'opération qu'on fait pour trouver le terme qui manque à cette proportion s'appelle Regle de Trois. On la nomme aussi Regle de Proportion; & quelques-uns l'appellent Regle d'Or, à cause de l'utilité dont elle est dans le com

merce.

Nous avons vû dans le Chapitre précédent, comment on découvre le terme qui manque dans une proportion dont on connoît trois termes. Nous verrons dans celui-ci différens exemples de cette opération, & comment les termes connus doivent être considérés.

Les Arithméticiens distinguent deux fortes de Regles de Trois, la Regle de Trois directe, & la Regle de Trois

!

inverse, qui font toutes deux ou fimples ou composées. Ainsi l'on compte quatre fortes de Regles de Trois, la Regle de Trois directe fimple & la Regle de Trois inverse fimple; la Regle de Trois directe composée, & la Regle de Trois inverse composée.

La Regle de Trois directe simple, est celle dont les trois termes connus sont les trois premiers d'une proportion géométrique. Ainsi l'objet de cette Regle eft de faire trouver le quatriéme terme d'une proportion géométrique dont on connoît les trois premiers

termes.

La Regle de Trois inverse simple, est celle où l'on connoît trois termes, dont deux font les extrêmes d'une proportion géométrique, & l'autre un moyen de la mêine proportion: en forte que l'objet de cette Regle est de faire découvrir un terme moyen d'une proportion dont trois termes sont donnés. Mais parce que les Arithméticiens ne s'assujétissent point à mettre dans sa place le terme inconnu qu'ils cherchent, & qu'ils écrivent de suite les trois termes qu'ils connoissent, comme si ces trois termes étoient les trois premiers d'une proportion, le dernier rapport de la proportion se trouve renversé, lorsque le terme inconnu que l'on demande est véritablement un moyen de la proportion; & c'est par cette raison que l'opération qu'on fait pour trouver le terme moyen inconnu, s'appelle Regle de Trois inverse.

La Regle de Trois composée est celle dont l'énoncé renferme plus de trois termes connus. Mais nous verrons que tous ses termes connus se réduisent toûjours à trois entiérement connus ; & que le terme qu'on cherche est toûjours le quatriéme terme, ou un facteur du quatriéme terme d'une proportion, lorsque la regle est directe. Enfin nous verrons que le terme demandé est toûjours un terme moyen, où le