5°. s, s', s", les efpaces parcourus par les points dm, dm', dm" pendant l'élément du tems di, que je fuppofe conftant. 6°. Soit enfin u, u, u", les vîteffes de ces mêmes points pendant le même tems. Il eft clair, 1°. que les forces de tout le corps Cagiffantes sur le point dm, seront : le figne d'intégration Σ ne d m' f1 fe rapportant qu'à la position des différens dm, dm', dm" dans les corps, & non à leur pofition inftantanée dans l'efpace. 2°. Que par la même raifon, les forces que le corps C" exercera fur le même élément, les forces C & C" exerceront fur dm', les forces que dm que les corps les corps C & C dm" d m f > f f' dm' Les forces que les corps C & C exercent réciproquement l'un fur l'autre & par lesquelles ils tendent à s'approcher, feront par conféquent Edm ; les mêmes forces entre les corps C & C" feront de même ; & les mêmes forces entre les corps C' & C" Σdm. Σ dm" f! dm" feront Σ dm' Σ f f'. Défignant par la caractéristique d des différences de x, y, z ; x' ‚Ý‚z' ;, x", "Y", {"′′ ; 5, 5′, 5", &c. indépendantes de de celles qui font affectées de la caractéristique ordinaire d, l'expreffion de la quantité d'action dans tout le fyftême pendant le tems dt fera également SΣdmudds + dm' u' dds' + dm" u′′ d'd s′′ & dm" dm z Σ df+dmΣdf' + dm' == df".dt. Σα dm' dm" Ces deux expreffions doivent être égales à chaque instant. Donc les égalant enfemble, & intégrant par rapport à la caractéristique ce qui peut être intégré immédiatement, ce qui reftera sous le figne devra être nul à chaque instant, & on doit avoir entre les coordonnées des équations qui le rendent tel. Ces opérations exécutées, j'aurai l'expreffion. SΣdm +dmΣ = = dt + dm ɛd m'" x ~~*"' ddx dm' x- dt+dmɛ f" ƒ' dm" y dt+dm +dmΣ f f dt dx dt.dz dt & cette expreffion devra être nulle, quelles que foient les différentielles affectées de la caractéristique d : je pourrois donc égaler à zero le coefficient de chacune de ces différences, ce qui me donneroit neuf équations. Mais il est aisé de voir que pour réfoudre le Problême plus commodément, il eft à propos d'avoir le mouvement d'un point déterminé auquel on rapporte enfuite le mouvement de tous les autres. Nous ferons donc pour y parvenir les opérations fuivantes. Je prends d'abord dans chaque corps un point déterminé dont je fuppofe que le mouvement foit rapporté à des coordonnées x, y, z; x', y', z'; x", Y", z"; & que le mouvement d'un point quelconque de chacun de ces corps foit rapporté à des coordonnées P, Q, R ; P', Q', R'; P", Q", R"; le point déterminé pris dans chaque corps étant fuppofé fixe, & ces coordonnées prifes dans la même direction que celles qui expriment le mouvement du point déterminé. Cette fuppofition me donne dx=dx+dP, dy =dy+dQ, dz = dz + dR, & dx = dx+dP; dy=dy+dQ, dz=dz+dR, dx' = dx' + d P', dy'=dy+dQ,dź=dz+dR,& dx'=dx'+d P', dy=dy'+dQ', dz' dz'+d R'; enfin dx"=dx" +dP", dy"=dy"+dQ′′, dz′′= dz′′+dR", & dx" =dx"+dP", dy"=dy"+dQ′′, dz′′=dz"+dR". Jé fuppofe enfuite que par le point déterminé que j'ai pris dans chaque corps paffent trois axes perpendiculaires entr'eux & qui aient la même direction que les coordonnées, qu'un point quelconque tourne autour de ces trois " axes, & que dans le corps Cil parcourre autour de l'axe parallele aux x l'arc dx pendant le tems dt,autour de l'axe parallele aux y l'arc dr, & autour de l'axe parallele aux z l'arc dz; dans le corps C' l'arc dx' autour de l'axe des x', l'arc dr' autour de l'axe des y', l'arc dz'autour de l'axe des z'; dans le corps C" enfin l'arc dx" autour de l'axe des x", l'arc dr" autour de l'axe des y′′, l'arc dz" autour de l'axe des z". Les angles font indépendans de la position d'un point quelconque dans le corps, & leur rapport donnera par conféquent le mouvement giratoire de chacun des corps autour de ces axes. Cette nouvelle fuppofition me donne, en exprimant les différences de P, Q, R,&c. par leurs valeurs en X, Y, Z, &c. dx=dx+Rdr+Qdz, dx=dx+Rdr+Qdz, dy = dr + Rdx-Pdz, dy=dy+Rdx−Pdz, dz=dz-Q dx-Pdr, dz=dz-Qdx-Pdz, dx'= d'x' + R'dr'+Q'dz', · dx'=dx'+R'dr'+ Q'dz', dy' — dx' + R'd x'— P'dz', dy'=dy'+R'd x'— P'd z', dz' = dz' — Q'd x'-P'dr, dz=dz' — Q'd x'—P'dr', dx"=dx"+R"dy"+Q"dz", dx"=⇒d x"+R"d¥"+Q"dz", dy"=dx"+R"dx"-P"dz", dy"=dy"+R′′dx"—P"dz", dz′′=dz" —Q′′dx" —P"dr", dz"=dz"—Q′′d x"—P"dr". Subftituant ces valeurs dans l'équation ci-deffus, & réduifant en observant que le figne n'affecte en aucune façon les x, x, &c., & égalant à zero le coefficient de chaque différence affectée de la caractéristique d, j'aurai des dix-huit équations fuivantes, où M, M', M", défignent les maffes des corps c, c', c". 2o. x-x"+P— p" f Mddy+Pdm-ddz+dxdx+Qdm—dx2+dz2 +≥ Rdm • ddx — dx dz+Σdm dm' x—x' + l — l′ dť2 f dm" Y 3°. Mddz + P dm-ddy-dx d z + Qd m ——— ddx+dɣdz +Σ Rdm — dx2+ dr2+ Σ dm z m z-z'+R-R' f 2 dr2+Edmɛ f dm' ƒ dio. dy'2 + d z2 + Σ Q'd m ddz'— d x'dx'+Σ R'dm' • ddx'+dx'dz'— Σ d m' Σ x-x'+P— P' + = dt+ Σdm f dr2 + Σ dm' Σdm". x'—x"+P'—p" 5o. M'ddy' +Σ P'dm'— ddz' + d x'd ¥' + z Q'd m -dx2+ dz2+Σ R'dm' ddx-dr'dz'-Σdm'z dm 6o. M'ddz' +Σ P'dm' -ddy' - dx'dz' +ΣQ'dm' ~~~ddx'+dx'd z'+ΣR'dm'—dx'2+dr12 — Σ dm'z z―z'+R―R' di +Σ dm' z dm' z'—z”+R'—R” dt2 — 0. f. |