X1, Y1, z1, u, étant les coordonnées courantes. Identifions ces deux équations, on a : Ces trois équations déterminent les coordonnées des points de contact. Le nombre de leurs solutions communes fournira la troisième caractéristique p. (xwyzu — aɛxyzu)dx + (fwzux — bɛxyzu)dy +(ywuxy-cɛxyzu)dz + (èwxyz — dzxyzu)du = o, (7) On a d'abord, comme on l'a dit plus haut, p. = 1. et cherchons la deuxième caractéristique ». Coupons les surfaces du système par un plan quelconque : On a : u = Ax+ By + Cz. du Adx + Bdy + Cdz. Remplaçons dans l'équation (8), puis faisons z=1, dz=0. On trouve : (xwyu-aɛxyu + Аèwxy - Ad:xyu) dx On suppose dans cette équation u remplacé par sa valeur en X, Y, Z. On voit bien aisément que le nombre des solutions communes à l'équation précédente et aux deux suivantes : En appliquant la méthode indiquée précédemmment, on est conduit à résoudre les équations suivantes : soit à la valeur de chacun de ces rapports, il vient : Mais les coordonnées x, y, z, u doivent satisfaire à l'équation du plan : qui est du troisième degré; et comme à chaque valeur de λ correspond un système unique de valeurs pour x, y, z, u, on en conclut que = 3. Donc le système de surfaces défini par l'équation (7) a pour caractéristiques p1, v3, p=3. Or ce système comprend des surfaces algébriques et des surfaces transcendantes; donc toutes les propriétés des systèmes de surfaces qui ne dépendent ni de l'ordre, ni de la classe, ni du rang de cette surface sont applicables aux surfaces définies par l'équation différentielle. Il serait aisé d'ailleurs d'intégrer cette équation; on trouverait : k désignant une constante. On voit que si a, ß, y, è sont des nombres commensurables, on aura un système de surfaces algébriques. Dans le cas contraire, on aura des surfaces transcendantes. Mais, et c'est là le point sur lequel nous insistons, il n'est pas nécessaire d'intégrer l'équation pour déterminer les caractéristiques, et par conséquent pour énoncer immédiatement un grand nombre de propriétés communes à toutes les surfaces du système. Nous nous réservons de revenir plus tard sur cette relation remarquable qui existe entre les équations différentielles totales et les systèmes de surfaces. Pour terminer cette étude, nous dirons quelques mots d'une relation remarquable qui a été établie par M. Fouret entre les équations aux dérivées partielles du premier ordre et les surfaces qui dépendent de deux paramètres. On sait, en effet, qu'une équation, telle que f(x, y, z, a, b) = o, dans laquelle a et b désignent deux paramètres arbitraires, conduit à une équation aux dérivées partielles du premier ordre qui exprime une propriété géométrique commune à toutes ces surfaces. Réciproquement, toute équation aux dérivées partielles du premier ordre peut être considérée comme représentant une famille de surfaces en nombre doublement infini, et on conçoit à priori que l'on puisse, au moyen de l'équation aux dérivées partielles proposée, découvrir un certain nombre de propriétés géométriques communes à toutes ces surfaces. Nous dirons, avec M. Fouret, que toutes ces surfaces forment un implexe. On démontre que les propriétés des surfaces d'un implexe dépendent seulement de deux caractéristiques, qui sont : 1o la classe du cône enveloppe des plans tangents menés en un point à toutes les surfaces qui passent par ce point; 2o le lieu des points de contact des surfaces avec un plan donné. Soient et ces deux caractéristiques. Elles s'échangent lorsque l'on transforme les surfaces par le principe de dualité; ce que l'on voit bien aisément en introduisant les coordonnées homogènes dans l'espace, comme l'a fait M. Darboux à la fin de son beau Mémoire sur les Solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre. l'équation du plan tangent à une surface au point 1, X2, X3, X4. On aura les équations de condition : m, dx, + mdx2 { m3dx3 + m ̧d.r4 = 0, Toute équation aux dérivées partielles du premier ordre de la forme : F(x, y, z, p, q, z px — qy) = 0, deviendra, par l'introduction des notations précédentes : (1) P(X1, X2, X3, X4, M1, M2, M3, M4) = 0, étant homogène entre les variables x,, X2, X3, X4 et aussi entre les variables m1, m2, M3, M4. Exemple. -Soit l'équation : L(px + qyz) - Mp Ng + Ro, L, M, N, R représentant des fonctions linéaires de x, y, z. La substitution précédente remplacera L, M par des polynômes homogènes et linéaires en x,, X2, X3, X4, et pr+qyz, p, q par les rapports de trois des coefficients m1, M2, M3, m, au quatrième; de sorte que l'équation deviendra: L1m, + M1m1 + N1 m2 + R1m3 = 0, L1, M1, étant des fonctions linéaires et homogènes de x,, ... X2, X3, X4. Sous la forme (1), on voit que l'enveloppe des plans tangents à toutes les surfaces qui passent par un point sera un cône dont la classe sera égale au degré du polynome relativement aux variables m1, M2, et que le lieu des points de contact des surfaces avec un plan donné dont les coordonnées sont m1, m2, m3, m, est une courbe dont le degré est égal à celui du polynôme en X1, X2, ... ... Ainsi, dans l'exemple précédent, les deux caractéristiques de l'implexe sont égales à l'unité 01, 1. Cela posé, nous allons montrer comment certaines propriétés des surfaces d'un implexe s'expriment au moyen des caractéristiques de l'implexe. THEOREME I. Le lieu des points de contact des plans tangents menés par une même droite D à toutes les surfaces d'un implexe (, ) est une surface d'ordre +, dont nappes passent par D. La droite D est multiple d'ordre 0; car si l'on considère un point quelconque sur D et le cône passant par ce point, par la droite D on peut mener plans tangents à ce cône; donc D est multiple d'ordre 0, puisque par chaque point de D on peut mener par cette droite plans tangents aux surfaces. P Considérons, en outre, un plan quelconque conduit par D; la courbe coupe D en points. Donc points isolés appartenant à d'autres nappes de la surface sont situés sur D. Le lieu est donc d'ordre (1) Il est aisé de démontrer ce théorème analytiquement. Soit: 小=0, l'équation du plan tangent au point x, X., X3 X4 • En écrivant que ce plan passe par une droite donnée ou par |