dans d'affez grandes erreurs, en conftruifant les figures qu'on trace fur le papier: mais il eft facile d'éviter ce dernier inconvénient, en employant le calcul. Des perfonnes zélées pour l'avancement des Sciences le font donné la peine de fupputer, avec la plus grande exactitude, les côtés des triangles pour toutes les diverfes grandeurs d'angles, & ils en ont formé des Tables en fuppofant qu'un des côtés étoit de 100000 parties. Si les triangles qu'on eft obligé d'examiner, ont effectivement un de leurs côtés de 100000 toifes ou de 100000 pieds, & que ces triangles foient rectangles, on trouve immédiatement dans les Tables dont nous parlons, la valeur des deux autres côtés; & à l'égard des autres cas, il fuffit de faire des réductions par des proportions ou régles de Trois. C'est ce que nous allons expliquer en peu de mots, en prenant les chofes d'un peu plus loin, à caufe de la forme particuliére qu'on a donnée aux Tables dont il s'agit, qu'on nomme ordinairement Tables des Sinus. I I. Explications ou Définitions des Sinus, 78. Le Sinus d'un arc eft une ligne droite abaiffée per- 79. Si l'on rend l'arc plus grand, le Sinus augmentera jufqu'à un certain terme. L'arc Ad, par exemple, a de pour Sinus; & lorfque l'arc eft égal au quart de cercle AB, il a alors pour Sinus le rayon même B C: mais fi après cela on augmentoit encore l'arc, fi l'on prenoit, par exemple, E Fig. 33. l'arc AM, le Sinus deviendroit plus petit; il fe réduiroit Si 81. On peut remarquer que chaque Sinus est toujours la moitié de la corde d'un arc double. Le Sinus DE eft la moitié de DI, qui eft la corde de l'arc DAI, double de DA. C'eft en employant ce rapport qu'on a calculé la Table du N55, ou qu'on l'a déduite de la Table des Sinus. Suppofant, par exemple, que l'arc D I foit de 50 degrez, pour avoir fa corde, on a cherché le Sinus D E de Parc de 25 degrez. Les Tables donnent ce Sinus de 42 262 parties, lorfque le rayon en contient 100 000, & doublant DE on a eu 84 52+ pour DI. 82. Outre les Sinus, on confidére encore deux autres. lignes dont chaque arc ou chaque angle eft comme accompagné. Si on éléve à l'extrémité du rayon CA la perpendiculaire AG, & qu'on la termine par la rencontre de l'autre rayon CD prolongé jufqu'en G, cette ligne A G touchera l'arc au point A, & on la nomme la Tangente de l'arc AD; pendant que le rayon AD prolongé jufqu'en G, fe nomme la Sécante du même arc. Si l'on rend l'arc plus grand, fi on le fait égal à Ad, fa Tangente Ag & fa Sécante Cg feront aufli plus grandes ; & elles deviendront infinies, fi on rend l'arc égal au quart de cercle AB, ou fi on le fait de 90 degrez; car la Tangente Ag & le rayon CB, quoique prolongés infiniment, ne fe rencontreroient pas. 83. Les arcs de complément B D & B dont auffi leurs Tangentes & Sécantes, & elles vont en diminuant à me fure que ces arcs de complément diminuent. BH eft la Fig. 33. Tangente de l'arc B D, & CH en eft la Sécante; de même que Bh eft la Tangente, & Ch la Sécante de l'arc B d. En prenant ainfi des arcs de complément toujours plus petits, la Tangente à la fin fe réduit à rien; mais les Sécantes en diminuant ne peuvent pas devenir moindres que le rayon ou le Sinus total CB. 84. « Un rapport très - remarquable qu'ont les Sinus « des arcs & les Sécantes de leur complément, c'eft que fi « la longueur du Sinus augmente ou diminue un certain << nombre de fois par l'augmentation ou la diminution de «< l'étendue de l'arc, la Sécante de complément recevra << un femblable changement, mais en fens contraire. Le « Sinus de eft, par exemple, deux fois plus grand que le « Sinus DE; mais en récompenfe la Sécante Ch de com- a plément du premier arc fera deux fois plus petite que la « Sécante CH de complément de l'autre. Si nous nous « exprimons, comme on le fait en Géométrie, ces lignes « feront toujours en rapport inverfe ou réciproque. On « verra la raison de cette propriété, fi l'on fait attention que « le triangle DCE eft toujours femblable au triangle HCB, « quoiqu'ils foient fitués différemment. Or cette confor- «< mité eft caufe qu'il y a même rapport du Sinus D E au « rayon CD que du rayon C B à la Sécante de compléCB « ment C H. Si le Sinus DE eft donc égal au tiers ou au «<< quart du rayon, la Sécante de complément CH fera tri- « ple ou quadruple du rayon; & fi l'on fait augmenter ou «< diminuer le Sinus, la Sécante de complément diminuera « ou augmentera dans le même rapport. « 85. La même chose arrive aux Tangentes qui appar- « tiennent à des arcs qui font le complément l'un de l'au- « tre. Si en augmentant l'arc AD, on rend fa Tangente « AG deux ou trois fois plus grande, la Tangente B H de « l'arc de complément BD deviendra dans le même tems «< deux ou trois fois plus petite; parce que le rapport de <<< l'une au rayon fera toujours le même que celui du rayon << E ij à l'autre. » I I I. Ufage des Sinus, Tangentes & Sécantes, 86. C'eft de la valeur de toutes ces lignes dont on a for mé des Tables en les calculant pour les arcs de toutes les grandeurs de degré en degré, & de minute en minute. Ces Tables expriment, comme nous l'avons déja dit, la longueur des côtés de tous les triangles - rectangles d'une maniére très-naturelle, & les donnent même immédiatement, fans qu'il foit néceffaire de faire aucune réduction, lorfqu'un des côtés du triangle eft de 100000 parties. Si on nous propofe, par exemple, le triangle ABC, qui est Figure 34 rectangle en B (Fig. 34.) qu'on connoiffe 'la grandeur de fes angles, & qu'ayant de plus la longueur de l'hypothenufe, ou du plus long côté AC, on demande la longueur des deux autres côtés AB & BC, il n'y a qu'à prendre la pointe de l'angle aigu A pour centre, & décrire par penfée l'arc DC qui ait pour rayon l'hypothenufe AC: alors le côté BC deviendra le Sinus de l'arc DC, ou de l'angle A.Ainfi fi l'hypothenuse A C, étoit de 1c0000 pieds, il n'y auroit qu'à chercher dans les Tables le Sinus de l'angle A, & on auroit tout d'un coup la valeur de BC en pieds. la 87. Suppofé que l'angle A foit de 40 deg. 10 min. on trouvera le nombre 64501 pour fon Sinus, & ce seroit donc la valeur de B C. Mais i l'hypothenufe AC, au lieu d'être de 100000 pieds, n'eft que de 350 pieds, le côté BC fera plus petit dans le même rapport, & il faudra conféquent faire cette proportion ou régle de Trois : le Si-nus total 100000 eft aux 350 pieds de AC, comme le Sinus 64501 de l'angle A eft à B.C. On trouvera pour la lon par gueur, en faisant le calcul, 225 pieds, & un peu plus de trois quarts. 88. Si du point Ccomme centre on décrit l'arc AE, Thypothenufe A C fervira encore de Sinus total, ou de rayon, & le côté AB, fera le Sinus de l'arc AE ou de l'angle C. Ainfi il n'y auroit point de calcul à faire, fuppofé que l'hypothenufe fût de 100000 pieds ; & il fuffiroit pour avoir la longueur de AB, de chercher dans les Tables le Sinus de l'angle C, qui eft de 49d50m, lorfque l'angle A eft de 40d 10m, & que le triangle eft rectangle. Les Tables préfentent ordinairement dans la même ligne les deux Sinus complémens l'un de l'autre, une colomne de degré defcendant depuis zero jusqu'à 45°. & l'autre allant en montant depuis 45°. jufqu'à 90. On trouve 76417 pour le Sinus de 49 d. 50': mais comme l'hypothenuse AC n'est que de 350 pieds, il faut diminuer dans le même rapport le Sinus 76417 que fournit la Table. Nous ferons donc cette régle de Trois, ou proportion: le Sinus total 100000 eft à AC qui eft de 350 pieds, comme le Sinus 76417 de l'angle Ceft à AB pour lequel on trouvera 267 pieds prefque & demi en achevant le calcul. 8.9. C'est une régle générale dont il faut fe reffouvenir,parce qu'elle eft d'un ufage prefque continuel dans la Trigonométrie, que dans tous les triangles formés par des lignes droites, foit que ces triangles foient rectangles, ou qu'ils foient obliquangles, le Sinus d'un angle eft au côté qui lui eft oppofé, comme le Sinus d'un autre angle eft au côté qui lui eft oppofe. Il a été queftion jufqu'à préfent de triangles-rectangles; & nous avons auffi toujours comparé le Sinus total à T'hypothenufe qui eft le côté oppofé à l'angle droit. 90. On n'eft' pas néanmoins abfolument obligé de prendre l'hypothenufe pour rayon ou Sinus total dans les triangles-rectangles. Si l'on décrit par la penfée l'arc BF en prenant le côté A B pour rayon, l'autre côté BC devien-dra la Tangente de l'arc B F ou de l'angle A, & l'hypothenufe AC en fera la Sécante, Ainfi il n'y aura qu'à cher- |
