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dans d'assez grandes erreurs , en construisant les figures qu'on trace sur le papier : mais il est facile d éviter ce dernier inconvénient , en employant le calcul. Des personnes zélées pour l'avancement des Sciences se sont donné la peine de supputer, avec la plus grande exactitude, les côtés des triangles pour toutes les diverses grandeurs d'angles, & ils en ont formé des Tables en supposant qu'un des côtés étoit de 1ooooo parties. Si les triangles qu'on est obligé d'examiner, ont effectivement un de leurs côtés de 1ooooo toises ou de 1ooooo pieds, & que ces triangles soient rectangles , on trouve immédiatement dans les Tables dont nous parlons, la valeur des deux autres côtés ; & à l'égard des autres cas, il suffit de faire des réductions par des proportions ou régles de Trois. C'est ce que nous allons expliquer en peu de mots , en prenant les choses d'un peu plus loin, à cause de la forme particuliére qu'on a donnée aux Tables dont il s'agit, qu'on nomme ordinairement Tables des Sinus.

I I.

Explications ou Définitions des Sinus ,
Tangentes &G Sécantes.

78. Le Sinus d'un arc est une ligne droite abaissée per-
pendiculairement de l'extrémité de cet arc sur le rayon
qui se rend à son autre extrémité. Dans la Figure 33°l'arc
D A a la ligne D E pour Sinus, ou la ligne A L qui lui
est égale. On peut remarquer que le Sinus marque bien
la largeur d'un arc, mais qu'il ne la marque pas comme
la corde, à cause de sa situation perpendiculaire à un des
rayons, ce qui le rend toujours plus court.
9. Si l'on rend l'arc plus grand, le Sinus augmentera
jusqu'à un certain terme. L'arc A d, par exemple, a d e
pour Sinus ; & lorsque l'arc est égal au quart de cercle A B,
il a alors pour Sinus le rayon même B C : mais si après cela
on augmentoit encore l'arc , si l'on prenoit, par exemple ,

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Fig. 33.

l'arc A M, le Sinus deviendroit plus petit ; il se réduiroit
à M N. Ainsi le rayon ou le semi-diamétre est le dernier
terme de grandeur auquel puissent parvenir les Sinus ; &
c'est pour cela que le rayon prend le nom de Sinus total.
8o. A mesure que les arcs A D, A d deviennent plus
grands, & que leurs Sinus croissent, ceux des arcs de com-
plément deviennent plus petits. L'arc BD a D F pour Si-
nus, & l'arc B d a d f. On nomme ces Sinus les Co-Sinus
des arcs DA & d A ; & par la même raison les lignes DE
& d e sont les Co-Sinus des arcs D B & d B.
8 I. On peut remarquer que chaque Sinus est toujours
la moitié de la corde d'un arc double. Le Sinus D E est la
moitié de D I, qui est la corde de l'arc DA I, double de
D A. C'est en employant ce rapport qu'on a calculé la
Table du N 5 5, ou qu'on l'a déduite de la Table des Si-
nus. Supposant , par exemple , que l'arc D I soit de 5o de-
grez , pour avoir sa corde, on a cherché le Sinus D E de
l'arc de 2 5 degrez. LesTables donnent ce Sinus de 42 262
parties, lorsque le rayon en contient 1oo ooo, & doublant
D E on a eu 84 52 t pour D I.
82. Outre les Sinus , on considére encore deux autres
lignes dont chaque arc ou chaque angle est comme ac-
compagné. Si on éléve à l'extrémité du rayon CA la per-
pendicolaire A G , & qu'on la termine par la rencontre
de l'autre rayon CD prolongé jusqu'en G, cette ligne A G
touchera l'arc au point A, & on la nomme la Tangente de
l'arc A D; pendant que le rayon A D prolongé jusqu'en
G, se nomme la Sécante du même arc. Si l'on rend l'arc
plus grand , si on le fait égal à A d , sa Tangente Ag &
sa Sécante Cg seront aussi plus grandes ; & elles devien-
dront infinies, si on rend l'arc égal au quart de cercle A B,
ou si on le fait de 9o degrez ; car la Tangente Ag & le
rayon C B , quoique prolongés infiniment, ne se rencon-
treroient pas.
83. Les arcs de complément B D & B dont aussi leurs
Tangentes & Sécantes, & elles vont en diminuant à me-
sure que ces arcs de complément diminuent. B H est la
Tangente de l'arc B D, & CH en est la Sécante ; de mê-
me que Bh est laTangente, & C h la Sécante de l'arc B d.
En prenant ainsi des arcs de complément toujours plus pe-
tits, la Tangente à la fin se réduit à rien ; mais les Sécan-
tes en diminuant ne peuvent pas devenir moindres que le
rayon ou le Sinus total C B.
84. « Un rapport très - remarquable qu'ont les Sinus «
des arcs & les Sécantes de leur complément, c'est que si «
la longueur du Sinus augmente ou diminue un certain «
nombre de fois par l'augmentation ou la diminution de «
l'étendue de l'arc, la Sécante de complément recevra «
un semblable changement, mais en sens contraire. Le «
Sinus d e est, par exemple, deux fois plus grand que le «
Sinus DE; mais en récompense la Sécante Ch de com «
plément du premier arc sera deux fois plus petite que la «
Sécante CH de complément de l'autre. Si nous Lous «
exprimons, comme on le fait en Géométrie, ces lignes «
seront toujours en rapport inverse ou réciproque. On «
verra la raison de cette propriété, si l'on fait attention que «
le triangle D CE est toujours semblable au triangle HCB, «
quoiqu'ils soient situés différemment. Or cette confor- «
mité est cause qu'il y a même rapport du Sinus D E au «
rayon CD que du rayon C B à la Sécante de complé- «
ment CH. Si le Sinus DE est donc égal au tiers ou au «
quart du rayon, la Sécante de complément CH sera tri- «
ple ou quadruple du rayon; & si l'on fait augmenter ou «
diminuer le Sinus, la Sécante de complément diminuera «
ou augmentera dans le même rapport. «
85. La même chose arrive aux Tangentes qui appar- «
tiennent à des arcs qui sont le complément l'un de l'au- «
tre. Si en augmentant l'arc A D, on rend sa Tangente «
A G deux ou trois fois plus grande, laTangente B H de «
1'arc de complément B D deviendra dans le même tems «
deux ou trois fois plus petite ; parce que le rapport de «
l'une au rayon sera toujours le même que celui du rayon «
à l'autre. » - - E ij
Figure 34..

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86. C'est de la valeur de toutes ces lignes dont on a for-
mé des Tables en les calculant pour les arcs de toutes
les grandeurs de degré en degré, & de minute en minute.
Ces Tables expriment , comme nous l'avons déja dit , la
longueur des côtés de tous les triangles-rectangles d'une
maniére très-naturelle, & les donnent même immédiate-
ment , sans qu'il soit nécessaire de faire aucune réduction ,
lorsqu'un des côtés du triangle est de 1ooooo parties. Si
on nous propose, par exemple , le triangle A B C, qui est
rectangle en B ( Fig. 34.) qu'on connoisse la grandeur de
ses angles, & qu'ayant de plus la longueur de l'hypothe-
nuse , ou du plus long côté A C, on demande la longueur
des deux autres côtés A B & B C, il n'y a qu'à prendre
la pointe de l'angle aigu A pour centre , & décrire par la
pensée l'arc D C qui ait pour rayon l'hypothenuse A C :
alors le côté B C deviendra le Sinus de l'arc D C, ou de
l'angle A.Ainsi si l'hypothenuseA C, étoit de 1 c oooo pieds,
il n'y auroit qu'à chercher dans les Tables le Sinus de l'an-
gle A, & on auroit tout d'un coup la valeur de BC en
ieds. -
# Supposé que l'angle A soit de 4o deg. 1o min. on
trouvera le nombre 645o 1 pour son Sinus, & ce seroit
donc la valeur de B C. Mais si l'hypothenuse A C, au lieu
d'être de 1 ocooo pieds , n'est que de 35o pieds , le côté
B C sera plus petit dans le même rapport , & il faudra par
conséquent faire cette proportion ou régle de Trois : le Si-
nus total 1 oocco est aux 3 5o pieds de A C, comme le Si-
nus 645o 1 de l'angle A est à B C. On trouvera pour sa lon--

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